Докажите, что кривые x = y ^ 2 и xy = k разрезаются под прямым углом, если 8k ^ 2 = 1?

Ответ:

#-1#

Объяснение:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

две кривые

#x = y ^ 2 #

а также

#x = sqrt (1/8) / y или x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

для кривой #x = y ^ 2 #, производная по # У # является # 2у #.

для кривой #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, производная по # У # является # -Sqrt (1/8) у ^ -2 #.

точка, в которой встречаются две кривые, это когда # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

поскольку #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

точка, в которой встречаются кривые, # (1/2, sqrt (1/2)) #

когда #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

градиент касательной к кривой #x = y ^ 2 # является # 2sqrt (1/2) или 2 / (sqrt2) #.

когда #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

градиент касательной к кривой #xy = sqrt (1/8) # является # -2sqrt (1/8) или -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Мы ищем состояние # К # такие, что кривые # Х = у ^ 2 # а также # Х = к # «резать под прямым углом». Математически это означает, что кривые должны быть ортогональными, что, в свою очередь, означает, что во всех точках касательные к кривым в любой данная точка перпендикулярна.

Если мы рассмотрим семейство кривых для различных значений # К # мы получаем:

Сразу отметим, что мы ищем одну точку, где касательная перпендикулярна, поэтому в целом кривые не являются ортогональными во всех точках.

Сначала давайте найдем не замужем координат, #П#от точки пересечения, которая является одновременным решением:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Подставляя уравнение A в B, получим:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

И так мы устанавливаем координаты пересечения:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Нам также нужны градиенты касательных по этой координате. Для первой кривой:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Таким образом, градиент касательной, # M_1 #к первой кривой в #П# является:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Аналогично для второй кривой:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Таким образом, градиент касательной, # M_2 #ко второй кривой в #П# является:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Если эти две касательные перпендикулярны, мы требуем, чтобы:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Ведущий к данному результату:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

И с этим значением # К #