Три грека, трое американцев и трое итальянцев сидят наугад вокруг круглого стола. Какова вероятность того, что люди в трех группах сидят вместе?

Ответ:

#3/280#

Объяснение:

Давайте посчитаем, как все три группы могут быть расположены рядом друг с другом, и сравним это с количеством способов, которыми все 9 могли бы быть расположены случайным образом.

Мы будем перечислять людей с 1 по 9 и группы #A, G, I. #

#stackrel Overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Есть 3 группы, так что есть #3! = 6# способы расстановки групп в линию, не нарушая их внутренних порядков:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Пока это дает нам 6 действительных перестановок.

В каждой группе 3 члена, поэтому снова #3! = 6# способы организации участников в каждой из 3 групп:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

В сочетании с 6 способами организации групп у нас теперь есть #6^4# действительные перестановки до сих пор.

И поскольку мы находимся за круглым столом, мы допускаем 3 варианта, в которых первая группа может быть «наполовину» на одном конце и «наполовину» на другом:

# "A A A G G G I I I" #

# "A A G G G I I I A" #

# "A G G G I I I A A" #

Общее количество способов собрать все 3 группы: # 6 ^ 4 xx 3. #

Количество случайных способов устроить все 9 человек составляет #9!#

Тогда вероятность случайного выбора одного из «успешных» способов

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#