Предположим, что X - непрерывная случайная величина, функция плотности вероятности которой определяется как: f (x) = k (2x - x ^ 2) для 0 <x <2; 0 для всех других х. Каково значение k, P (X> 1), E (X) и Var (X)?

Ответ:

# К = 3/4 #

#P (х> 1) = 1/2 #

#E (Х) = 1 #

#V (Х) = 1/5 #

Объяснение:

Найти # К #, мы используем # Int_0 ^ 2f (х) ах = int_0 ^ 2k (2x-х ^ 2) ах = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#k (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3k = 1 ##=>## К = 3/4 #

Вычислять #P (х> 1) #, мы используем #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-х ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2 / 2x ^ 3/3 ^ _0 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

Вычислять #E (Х) #

#E (Х) = int_0 ^ 2xf (х) ах = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2x ^ 3) ах #

# = 3/4 2x ^ 3/3-х ^ 4/4 _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3-16 / 4) = 3/4 * 16/12 = 1 #

Вычислять #V (Х) #

#V (Х) = Е (Х ^ 2) - (Е (Х)) ^ 2 = Е (Х ^ 2) -1 #

#E (Х ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (х) ах = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 3-х ^ 4) ах #

# = 3/4 2x ^ 4/4-х ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. V (X) = 6 / 5-1 = 1/5 #