Что равен sqrt (3 + i) в форме + bi?

Ответ:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

предполагать # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Таким образом, приравнивая реальные и мнимые части, мы получаем:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

следовательно #b = 1 / (2a) #, который мы можем подставить в первое уравнение, чтобы получить:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Умножьте оба конца на # 4a ^ 2 # получить:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Так:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Из квадратной формулы получаем:

# a ^ 2 = (12 + -квт (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -кврт (160)) / 8 = (3 + -кврт (10)) / 2 #

поскольку #sqrt (10)> 3 #, выбрать #+# знак, чтобы получить реальные значения для # A #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

где # Б # имеет тот же знак, что и # A # поскольку #b = 1 / (2a) #

Главный квадратный корень в Q1 с #a, b> 0 #

То есть:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

На самом деле, если #c, d> 0 # тогда мы можем аналогично показать:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) я #