Х ^ 6 - 5х ^ 3 + 8 ................ (факторизация)?

Ответ:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (Х ^ 2- (альфа + бар (альфа)) х + 2) (х ^ 2- (omegaalpha + омега ^ 2 бара (альфа)) х + 2) (х ^ 2- (омега ^ 2альфа + omegabar (альфа)) х + 2) #

как описано ниже …

Объяснение:

Предупреждение:

Этот ответ может быть более сложным, чем вы ожидаете.

Заметки

Можно упростить и найти:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# омегаальфа + омега ^ 2бар (альфа) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# омега ^ 2альфа + омегабар (альфа) = -1 #

но мне пока не ясно, как это лучше всего сделать.

Ответ:

# Х ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) х + 2) #

Объяснение:

Вот более простой метод …

Дано:

# Х ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Ищите факторизацию формы:

# Х ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + бетакс + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = Х ^ 6 + (альфа + бета + гамма) х ^ 5 + (AlphaBeta + betagamma + gammaalpha + 6) х ^ 4 + (2 (альфа + бета + гамма) + alphabetagamma) х ^ 3 + (2 (AlphaBeta + betagamma + gammaalpha) +12 В) х ^ 2 + 4 (альфа + бета + гамма) х + 8 #

Приравнивая коэффициенты, находим:

# {(альфа + бета + гамма = 0), (альфа-бета + бета-гамма + гаммаальфа = -6), (альфа-бета-гамма = -5):} #

Так # альфа, бета, гамма # являются нулями кубики:

# (Х-альфа) (х-бета) (х-гамма) #

# = Х ^ 3- (альфа + бета + гамма) х ^ 2 + (AlphaBeta + betagamma + gammaalpha) х-alphabetagamma #

# = Х ^ 3-6x + 5 #

Обратите внимание, что сумма коэффициентов этой кубики равна #0#, То есть #1-6+5 = 0#.

следовательно # Х = 1 # это ноль и # (Х-1) # фактор:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Нули оставшегося квадратичного можно найти с помощью квадратной формулы:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Так # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Так:

# Х ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) х + 2) #

бонус

Можем ли мы обобщить приведенный выше вывод?

# Х ^ 6 + рх ^ 3 + д ^ 3 #

# = (Х ^ 2 + alphax + д) (х ^ 2 + Betax + д) (х ^ 2 + gammax + д) #

# = Х ^ 6 + (альфа + бета + гамма) х ^ 5 + (AlphaBeta + betagamma + gammaalpha + 3q) х ^ 4 + (Q (альфа + бета + гамма) + alphabetagamma) х ^ 3 + д (AlphaBeta + betagamma + gammaalpha + 3q) х ^ 2 + Q ^ 2 (альфа + бета-х + гамма) + д ^ 3 #

Уравнительные коэффициенты:

# {(альфа + бета + гамма = 0), (альфа-бета + бета-гамма + гаммаальфа = -3q), (альфа-бета-гамма = р):} #

следовательно # альфа, бета, гамма # являются нулями:

# Х ^ 3-3qx-р #

Итак, если мы можем найти три действительных нуля этой кубики, то мы имеем разложение на секстику # Х ^ 6 + рх ^ 3 + д ^ 3 # на три квадратики с действительными коэффициентами.