Каков диапазон значений y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Сначала давайте рассмотрим домен:

Для каких значений #Икс# функция определена?

Числитель # (1-х) ^ (1/2) # определяется только тогда, когда # (1-x)> = 0 #, Добавление #Икс# по обе стороны от этого вы найдете #x <= 1 #.

Мы также требуем, чтобы знаменатель был ненулевым.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # ноль, когда #x = -1 / 2 # и когда #x = -1 #.

Таким образом, область функции

# {x в RR: x <= 1 и x! = -1 и x! = -1/2} #

определять #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # на этом домене.

Рассмотрим каждый непрерывный интервал в области отдельно:

В каждом случае пусть #epsilon> 0 # быть небольшим положительным числом.

Случай (а): #x <-1 #

Для больших отрицательных значений #Икс#, #f (х) # маленький и позитивный.

На другом конце этого интервала, если #x = -1 - эпсилон # затем

#f (x) = f (-1-эпсилон) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - эпсилон + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # как #epsilon -> 0 #

Таким образом, для #x <-1 # диапазон #f (х) # является # (0, + oo) #

Дело (б): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + эпсилон) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + эпсилон) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # как #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Таким образом, для # -1 / 2 <x <= 1 # диапазон #f (х) # является # 0, + oo) #

Дело (с): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + эпсилон) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + эпсилон + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # как #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-эпсилон) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-эпсилон) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # как #epsilon -> 0 #

Итак, интересный вопрос: каково максимальное значение #f (х) # в этом интервале. Чтобы найти значение #Икс# для которого это происходит, ищите производную равной нулю.

# Г / (ах) Р (х) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) хх (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3х + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3х + 1) ^ 2 #

Это будет ноль, когда числитель равен нулю, поэтому мы хотели бы решить:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Умножить на # 2 (1-х) ^ (1/2) # получить:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

То есть:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

который имеет корни # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Из этих корней #x = (5-sqrt (194)) / 12 # попадает в соответствующий интервал.

Заменить это обратно в #f (х) # найти максимум #f (x) в этом интервале (приблизительно -10).

Это кажется мне слишком сложным. Я сделал какие-нибудь ошибки?

Ответ: Диапазон функции # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

За #x in (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

За #x in (-1, -0.5) # #-># #y in (-oo, -10.58 #

За #x in (-0.5, 1 # #-># #y in 0, oo) #