Какова вторая производная функции f (x) = (x) / (x - 1)?

Ответ:

# Д ^ 2 / (дх ^ 2) х / (х-1) = 2 / (х-1) ^ 3 #

Объяснение:

Для этой проблемы мы будем использовать фактор-правило:

# d / dx f (x) / g (x) = (g (x) f '(x) -f (x) g' (x)) / g (x) ^ 2 #

Мы также можем сделать это немного легче, разделив, чтобы получить

# x / (x-1) = 1 + 1 / (x-1) #

Первая производная:

# Д / дх (1 + 1 / (х-1)) #

# = (d / dx1) + (d / dx ((x-1) (d / dx1) -1 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2) #

# = 0 + ((х-1) (0) - (1) (1)) / (х-1) ^ 2 #

# = -1 / (x-1) ^ 2 #

Вторая производная:

Вторая производная является производной первой производной.

# d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (-1 / (x-1) ^ 2) #

# = - ((х-1) ^ 2 (г / dx1) -1 (д / дх (х-1) ^ 2)) / (х-1) ^ 2 ^ 2 #

# = - ((х-1) ^ 2 (0) -1 (2 (х-1))) / (х-1) ^ 4 #

# = 2 / (х-1) ^ 3 #

Мы могли бы также использовать правило силы # d / dx x ^ n = nx ^ (n-1) # за #n! = 1 #:

# 1 + 1 / (x-1) = 1+ (x-1) ^ (- 1) #

# => d / dx (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (1+ (x-1) ^ (- 1)) #

# = - (x-2) ^ (- 2) #

# => d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (- (x-2) ^ (- 2)) #

# 2 = (х-2) ^ (- 3) #

что совпадает с результатом, который мы получили выше.