Треугольник имеет углы в (4, 1), (2, 4) и (0, 2) #. Каковы конечные точки перпендикулярных биссектрисы треугольника?

Ответ:

Легкими конечными точками являются середины, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# и более трудные, где биссектрисы встречаются с другими сторонами, в том числе #(8/3,4/3).#

Объяснение:

Под перпендикулярными биссектрисами треугольника мы подразумеваем перпендикулярную биссектрису каждой стороны треугольника. Таким образом, есть три перпендикулярных биссектрисы для каждого треугольника.

Каждая перпендикулярная биссектриса определена так, чтобы пересекать одну сторону в ее средней точке. Это также пересечет одну из других сторон. Мы предположим, что эти две встречи являются конечными точками.

Середины

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Это, вероятно, хорошее место, чтобы узнать о параметрических представлениях для линий и отрезков. # Т # это параметр, который может варьироваться по реалам (для линии) или от #0# в #1# для отрезка.

Давайте обозначим точки #A (4,1) #, #B (2,4) # а также #C (0,2) #, Три стороны:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-т) (4,1) + т (2,4) = (4-2т, 1 + 3т) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-т) (4,1) + т (0,2) = (4-4 т, 1 + т) #

Как # Т # идет от нуля до одного мы прослеживаем каждую сторону.

Давайте работать один. # D # это середина #ДО НАШЕЙ ЭРЫ#, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Вектор направления от C до B равен # B-C = (2,2) #, Для перпендикуляра мы переворачиваем два коэффициента (здесь нет эффекта, потому что они оба #2#) и отрицать один. Итак, параметрическое уравнение для перпендикуляра

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Другая линия, другой параметр.) Мы можем видеть, где это встречается с каждой из сторон.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # проверяет, что перпендикулярный биссектриса встречает BC в его средней точке.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Вычитание, # t = 2-3 = - 1 #

Это вне диапазона, поэтому перпендикулярная биссектриса BC не касается стороны AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Вычитание, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Это дает другую конечную точку как

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Это становится длинным, поэтому я оставлю вам две другие конечные точки.