Что такое обратная функция f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Ответ:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Объяснение:

Предполагая, что мы имеем дело с # Log_3 # как вещественная функция и обратная # 3 ^ х #, то домен #f (х) # является # (3, oo) #, так как мы требуем #x> 3 # для того чтобы # Log_3 (х-3) # быть определенным.

Позволять #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Затем:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Так:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Так:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Так:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

Фактически, это должен быть положительный квадратный корень, так как:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Так:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Следовательно:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #