Как интегрировать int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx с помощью тригонометрического замещения?

Ответ:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = l n | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Объяснение:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 9 + 4) d x #

#int 1 / (sqrt ((x-2) ^ 2 + 3 ^ 2)) d x #

# x-2 = 3 тета тета "" d x = 3сек ^ 2 тета д тета #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int (3сек ^ 2 тэта д тета) / sqrt (9tan ^ 2 тета + 9) = int (3сек ^ 2 тета д тета) / (3sqrt (1 + tan ^ 2 theta)) "" 1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (3 сек ^ 2 тета д тета) / (3 сек (сек ^ 2 тета)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (отменить (3сек ^ 2 тета) d тета) / (отменить (3сек тета)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int sec theta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = l n | sec тета + tan тета | + C #

#tan theta = (x-2) / 3 "" sec theta = sqrt (1 + tan ^ 2 theta) = sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = l n | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Ответ:

# sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #

Объяснение:

Гиперболическая версия также возможна:

• # x-2 = 3 sinh u #
• #dx = 3 cosh u du #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int 1 / sqrt (9sinh ^ 2 u + 9) 3cosh u du = int 1 / (3cosh u) 3cosh u du = u + C #

Следовательно:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #