Марс имеет среднюю температуру поверхности около 200К. Плутон имеет среднюю температуру поверхности около 40К. Какая планета излучает больше энергии на квадратный метр площади поверхности в секунду? По скольку?

Ответ:

Марс излучает #625# раз больше энергии на единицу площади поверхности, чем Плутон.

Объяснение:

Очевидно, что более горячий объект будет излучать больше излучения черного тела. Таким образом, мы уже знаем, что Марс будет излучать больше энергии, чем Плутон. Вопрос только в том, сколько.

Эта проблема требует оценки энергии излучения черного тела, испускаемого обеими планетами. Эта энергия описывается как функция температуры и излучаемой частоты:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Интегрирование по частоте дает общую мощность на единицу площади как функцию температуры:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(обратите внимание, что приведенное выше уравнение использует # Барх #, уменьшенная постоянная Планка, а не #час#, Трудно читать в нотации Сократа)

Решив соотношение между этими двумя показателями, вы получите невероятно простой результат. Если # T_p # температура Плутона и # T_m # температура Марса, то фактор # A # можно рассчитать с помощью:

# (Р ^ 2с (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = а (Pi ^ 2с (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / отменить (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / отменить (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # раз больше