Радиусы двух концентрических кругов составляют 16 см и 10 см. AB - диаметр большего круга. BD касается меньшего круга, касающегося его в точке D. Какова длина AD?

Ответ:

#bar (AD) = 23.5797 #

Объяснение:

Принятие происхождения #(0,0)# как общий центр # C_i # а также # C_e # и звонит # R_i = 10 # а также # R_e = 16 # точка касания # P_0 = (x_0, y_0) # находится на пересечении #C_i nn C_0 # где

# C_i-> х ^ 2 + у ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> х ^ 2 + у ^ 2 = R_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

Вот # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Решение для #C_i nn C_0 # у нас есть

# {(Х ^ 2 + у ^ 2 = r_i ^ 2), ((х-R_e) ^ 2 + у ^ 2 = R_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Вычитая первое из второго уравнения

# -2xr_e + R_e ^ 2 = R_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # так

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # а также # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Наконец, искомое расстояние

#bar (AD) = SQRT ((R_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = SQRT (R_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

или же

#bar (AD) = 23.5797 #

Объяснение:

Если #bar (BD), # касается # C_i # затем #hat (ODB) = pi / 2 # поэтому мы можем применить Пифагор:

#bar (ОП) ^ 2 + бар (БД) ^ 2 = бар (ОВ) ^ 2 # определения # R_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Точка # D # координаты, называемые # (X_0, y_0) # должны быть получены до расчета искомого расстояния #bar (AD) #

Есть много способов сделать это. Альтернативный метод

# Y_0 = бар (BD) грех (шляпа (OBD)) # но #sin (шлем (БД)) = бар (ОП) / бар (ОВ) #

затем

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # а также

# X_0 = SQRT (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Согласно приведенным данным, рисунок выше.

О является общим центром двух концентрических окружностей

#AB -> "диаметр большего круга" #

# AO = OB -> "радиус большего круга" = 16 см #

#DO -> "радиус меньшего круга" = 10см #

#BD -> "касательная к меньшему кругу" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Позволять # / _ DOB = тета => / _ = AOD (180-тета) #

В #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Применение закона косинуса в #Delta ADO # мы получаем

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = О. ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-тета) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * Doxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #