Что такое антидериват 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Ответ:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Объяснение:

Итак, у нас есть интеграл:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

И форма квадратичной взаимности, кажется, предполагает, что тригонометрическое замещение будет работать здесь. Итак, сначала заполните квадрат, чтобы получить:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Затем примените замену #u = x-1 # удалить линейное:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Таким образом, мы можем безопасно изменять переменные без нежелательных побочных эффектов:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Теперь это идеальная форма для выполнения тригонометрического замещения; # u ^ 2 + 1 # предполагает пифагорейскую идентичность # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #поэтому мы применяем замену #u = тантета # для упрощения знаменателя:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Итак, интеграл становится:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Теперь мы используем формулу двойного угла для # соз # чтобы сделать это антипроизводное более управляемым:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Затем поместите это в интеграл:

# 1/2 int cos (2 тета) + 1 д тета #

# = 1/2 (тета + 1/2 грех (2 тета)) + c # (и снова открыть это с формулой двойного угла для # Грех #)

# = 1/2 тета + 1 / 2синтакостета + c #

Сейчас, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

# син тета = загар тета * соз тета #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. Синтета * Costheta = (х-1) / (х ^ 2-2х + 2) #

Наконец, добираемся до сути:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #