Мисс Фокс спросила у своего класса, является ли сумма 4,2 и квадратный корень из 2 рациональной или иррациональной? Патрик ответил, что сумма будет иррациональной. Укажите, является ли Патрик правильным или неправильным. Обоснуйте свои рассуждения.

Ответ:

Сумма # 4.2 + sqrt2 # иррационально; он наследует никогда не повторяющееся свойство десятичного расширения #sqrt 2 #.

Объяснение:

иррациональное число это число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Если число иррационально, то его десятичное расширение продолжается бесконечно, и наоборот.

Мы уже знаем, что #sqrt 2 # иррационально Его десятичное расширение начинается:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Число #4.2# является рациональным; это можно выразить как #42/10.# Когда мы добавим 4.2 к десятичному расширению #sqrt 2 #, мы получаем:

#sqrt 2 + 4.2 = цвет (белый) + 1.414213562373095 … #

# color (белый) (sqrt 2) цвет (белый) + цвет (белый) (4.2 =) + 4.2 #

#color (белый) (sqrt 2) цвет (белый) + цвет (белый) (4.2 =) полоса (цвет (белый) (+) 5.614213562373095 …) #

Легко видеть, что эта сумма также не заканчивается и не имеет повторяющегося паттерна, поэтому она также нерациональна.

В общем, сумма рационального числа и иррационального числа всегда будет иррациональной; Аргумент похож на выше.

Ответ:

#color (синий) ("правильный") #

Объяснение:

Если мы начнем с того, что сумма рациональна: все рациональные числа можно записать как частное от двух целых # А / bcolor (белый) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + SQRT (2) = A / B #

#sqrt (2) = A / B-21/5 #

#sqrt (2) = (5а-21b) / (5b) #

Произведение двух целых чисел является целым числом:

Разница между двумя целыми числами является целым числом:

Так:

# 5а-21b # является целым числом

# 5б # является целым числом

Следовательно:

# (5а-21b) / (5b) # рационально.

Но мы знаем, что #sqrt (2) # иррационально, так что это противоречит нашему предположению, что сумма была рациональной, поэтому сумма иррационального числа и рационального числа всегда иррациональна.