Для каких значений x f (x) = x-x ^ 2e ^ -x вогнутый или выпуклый?

Ответ:

Найдите вторую производную и проверьте ее знак. Он выпуклый, если он положительный, и вогнутый, если он отрицательный.

Вогнутый для:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Выпуклый для:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Объяснение:

#f (х) = х-х ^ 2e ^ -x #

Первая производная:

#f '(х) = 1- (2xe ^ -х + х ^ 2 * (- е ^ -x)) #

#f '(х) = 1-2xe ^ -x + х ^ 2e ^ -x #

принимать # Е ^ -x # В качестве общего фактора необходимо упростить следующие производные:

#f '(х) = 1 + е ^ х * (х ^ 2-2x) #

Вторая производная:

#f '' (х) = 0 + (- е ^ х * (х ^ 2-2x) + е ^ -й * (2x-2)) #

#f '' (х) = е ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#f '' (х) = е ^ х * (- х ^ 2 + 4x-2) #

Теперь мы должны изучить знак. Мы можем поменять знак для простого решения квадратичного:

#f '' (х) = - е ^ х * (х ^ 2-4x + 2) #

# Δ = Ь ^ 2-4 * а * с = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Чтобы сделать квадратичное произведение:

#x_ (1,2) = (- Ь + -sqrt (Δ)) / (2 * а) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Следовательно:

#f '' (х) = - е ^ -x * (х- (2-SQRT (2))) * (х (2 + SQRT (2))) #

• Значение #Икс# между этими двумя решениями дает отрицательный квадратичный знак, в то время как любое другое значение #Икс# делает это позитивным.
• Любое значение #Икс# марки # Е ^ -x # положительны.
• Отрицательный знак в начале функции меняет все знаки.

Следовательно, #f '' (х) # является:

Положительный, поэтому вогнутый для:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Отрицательный, поэтому выпуклый для:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #