X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 имеет один корень x = sqrt (2) + sqrt (3). Какие три других корня и почему?

Ответ:

Остальные три корня #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # а также #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #, Что касается того, почему, позвольте мне рассказать вам историю …

Объяснение:

Мистер Рационал живет в городе Алгебра.

Он знает все числа в форме # М / п # где # М # а также # П # целые числа и #n! = 0 #.

Он очень счастлив, решая полиномы, такие как # 3x + 8 = 0 # а также # 6х ^ 2-5x-6 = 0 #Но есть много, которые озадачивают его.

Даже кажущийся простым полином # Х ^ 2-2 = 0 # кажется неразрешимым.

Его богатый сосед, мистер Реал, жалеет его. «Что вам нужно, это то, что называется квадратный корень #2#, Вот, пожалуйста. ". С этими словами мистер Реал передает загадочный блестящий синий номер, который называется # R_2 # мистеру Рационалу. Все, что ему говорят об этом номере, это # R_2 ^ 2 = 2 #.

Мистер Рационал возвращается в свой кабинет и играет с этим загадочным # R_2 #.

Через некоторое время он обнаруживает, что он может складывать, вычитать, умножать и делить числа вида # a + b R_2 # где # A # а также # Б # рациональны и заканчиваются числами той же формы. Он также замечает, что # Х ^ 2-2 = 0 # имеет другое решение, а именно # -R_2 #.

Теперь он может решать не только # Х ^ 2-2 = 0 #, но # Х ^ 2 + 2x-1 = 0 # и много других.

Многие другие полиномы все еще уклоняются от решения. Например, # Х ^ 2-3 = 0 #, но г-н Реал рад дать ему блестящий зеленый номер, который называется # R_3 # это решает это.

Мистер Рационал вскоре обнаруживает, что он может выразить все числа, которые он может сделать, как # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, где # A #, # Б #, # C # а также # D # рациональны.

Однажды мистер Рационал решил # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #, Он считает, что # Х = R_2 + R_3 # это решение.

Прежде чем искать новые решения, он сталкивается со своим соседом, мистером Реалом. Он благодарит мистера Реала за дар # R_2 # а также # R_3 #, но есть вопрос о них. «Я забыл спросить:« Он говорит: «Они положительные или отрицательные?». «Я не думал, что тебя это волнует», - сказал мистер Реал. «Пока вы решаете полиномы с рациональными коэффициентами, это на самом деле не имеет значения. Правила, которые вы нашли для сложения, вычитания, умножения и деления новых чисел, работают так же хорошо с любым из них. На самом деле, я думаю, что вы называется # R_2 # это то, что большинство людей называют # -Sqrt (2) # и тот, кого вы назвали # R_3 # это то, что большинство людей называют #sqrt (3) #'.

Так что для новых чисел мистера Рационала в форме # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # не важно # R_2 # и / или # R_3 # положительны или отрицательны с точки зрения решения полиномов с рациональными коэффициентами.