Вопрос 3cbbc

Ответ:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0,2746530521 #

Объяснение:

Мое решение по правилу Симпсона, формуле аппроксимации

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# Ч / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * у- (п-1) + y_n) #

куда # Ч = (Ь-а) / п # а также # Б # верхний предел и # A # нижний предел

а также # П # любое четное число (чем больше, тем лучше)

Я выбрал

# П = 20 #

дано # Б = р / 4 # а также # А = 0 #

# Ч = (пи / 4-0) / 20 = р / 80 #

Это как вычислить. каждый # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # будет использовать другое значение

за # Y_0 #

# X_0 = (а + 0 * ч) = (0 + 0 * пи / 80) = 0 #

# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #

# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #

#color (красный) (y_0 = +0,3333333333333) #

за # 4 * y_1 #

# X_1 = (а + 1 * ч) = (0 + 1 * пи / 80) = р / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80)))) #

#color (красный) (4 * y_1 = +1,3493618978936) #

за # 2 * Y_2 #

# X_2 = (а + 2 * ч) = (0 + 2 * пи / 80) = 2 * пи / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #

#color (красный) (2 * y_2 = +0,68138682514816) #

за # 4 * y_3 #

# X_3 = (а + 3 * ч) = (0 + 3 * пи / 80) = 3 * пи / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #

# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #

#color (красный) (4 * y_3 = +1,3738977832468) #

за # 2 * y_4 #

# X_4 = (а + 4 * ч) = (0 + 4 * пи / 80) = 4 * пи / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #

#color (красный) (2 * y_4 = +0,69151824096418) #

остальные следующие

#color (красный) (4 * y_5 = +1,3904648494964) #

#color (красный) (2 * y_6 = +0,69821575035862) #

#color (красный) (4 * y_7 = +1,4011596185484) #

#color (красный) (2 * y_8 = +0,70242415421322) #

#color (красный) (4 * y_9 = +1,4076741205702) #

#color (красный) (2 * y_10 = +0,70489632049832) #

#color (красный) (4 * y_11 = +1,4113400771087) #

#color (красный) (2 * y_12 = +0,7062173920012) #

#color (красный) (4 * y_13 = +1,4131786935757) #

#color (красный) (2 * y_14 = +0,7068293103707) #

#color (красный) (4 * y_15 = +1,4139474301694) #

#color (красный) (2 * y_16 = +0,70705252678954) #

#color (красный) (4 * y_17 = 1,414179352209) #

#color (красный) (2 * y_18 = +0,70710341105534) #

#color (красный) (4 * y_19 = +1,4142131417552) #

#color (красный) (y_20 = +0,35355339059328) #

Сумма всех этих #color (красный) ("сумма" = 20,98194762) #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "sum" #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = цвет (красный) (0.2746530521) #

Альтернативой является простое использование графического калькулятора во время сложной интеграции с более точным значением.

#color (красный) (= 0,2746530722) #

Да благословит Бог … Я надеюсь, что объяснение полезно.

Ответ:

# Int_0 ^ (пи / 4) (син (х) + соз (х)) / (3 + sin (2x)) ах = Ln (3) / 4 #

Объяснение:

Мы продолжим с использованием замены. Сначала мы пройдемся по некоторой алгебре, чтобы получить подынтегральную функцию в более желательной форме.

# 3 + sin (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #

# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #

# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #

# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-син (х) + соз (х))) #

# = (4 (син (х) + соз (х))) / (4 (2 + Sin (х) -cos (х)) (2-син (х) + соз (х)) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

# Xx4 / ((2 + Sin (х) -cos (х)) (2-син (х) + соз (х))) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

#XX (1 / (2 + Sin (х) -cos (х)) + 1 / (2-син (х) + соз (х))) #

# = 1 / 4xx (син (х) + соз (х)) / (2 + Sin (х) -cos (х)) - 1 / 4xx (-sin (х) -cos (х)) / (2- грех (х) + соз (х)) #

Используя это, мы можем разделить интеграл:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #

# = 1 / 4int_0 ^ (пи / 4) (син (х) + соз (х)) / (2 + Sin (х) -cos (х)) ах #

# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #

Для первого интеграла, используя подстановку #u = 2 + sin (x) - cos (x) # дает нам #du = (sin (x) + cos (x)) dx # и границы интеграции меняются от #0# а также # Пи / 4 # в #1# а также #2#, Таким образом, мы получаем

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 (пер | у |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 (пер (2) -ln (1)) #

# = 1 / 4ln (2) #

Для второго интеграла, используя подстановку #u = 2 - грех (x) + cos (x) # дает нам #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # и границы интеграции меняются от #0# а также # Пи / 4 # в #3# а также #2#, Таким образом, мы получаем

# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #

# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 (п (3) -ln (2)) #

# = 1/4 (п (3/2)) #

Подстановка значений в интегралы дает нам желаемый результат:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #

# = 1/4 (пер (2) + п (3/2)) #

# = 1 / 4ln (2 * 3/2) #

# = Ln (3) / 4 #