Как вы интегрируете int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2, используя тригональные замены?

Ответ:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (загар ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

Объяснение:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #

использование # Х = тангенс (а) #

# Дх = сек ^ 2 (а) да #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / (1 + tan ^ 2a) ^ 2 #

Используйте личность # 1 + загар ^ 2 (а) = сек ^ 2 (а) #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / sec ^ 4 (a) #

# = int (da) / sec ^ 2 (a) #

# = int cos ^ 2 (a) da #

# = int ((1 + cos (2a)) / 2) da #

# = (1/2) (int (da) + int cos (2a) da) #

# = (1/2) (а + Sin (2a) / 2) #

# = (1/2) (а + (2sin (а) соз (а)) / 2) #

# = (1/2) (a + sin (a).cos (a)) #

мы знаем это # А = загар ^ -1 (х) #

#sin (а) = х / (SQRT (1 + х ^ 2) #

#cos (а) = х / (SQRT (1 + х ^ 2 #

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1 (x) + sin (sin ^ -1 (x / (sqrt (1 + x ^ 2)))) cos (сов ^ -1 (1 / (SQRT (1 + х ^ 2)))) #

# = (1/2) (tan ^ -1 (x) + (x / (sqrt (1 + x ^ 2)) 1 / sqrt (1 + x ^ 2)) #

# = (1/2) (загар ^ -1 (х) + х / (1 + х ^ 2)) #

Ответ:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1)) #

Объяснение:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # выполняя замену

#x = загар (у) # и следовательно

#dx = dy / (cos (y) ^ 2) #

у нас есть

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 эквивалент int dy / (cos (y) ^ 2 (1 / cos (y) ^ 4)) = int cos (y) ^ 2dy #

но

# d / (dy) (sin (y) cos (y)) = cos (y) ^ 2-sin (y) ^ 2 = 2 cos (y) ^ 2-1 #

затем

#int cos (y) ^ 2 dy = 1/2 (y + sin (y) cos (y)) #

Наконец, напоминая #y = arctan (x) # у нас есть

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1)) #