Как вы находите сумму бесконечного геометрического ряда 10 (2/3) ^ n при n = 2?

Ответ:

Ответ либо #40/9# или же #40/3# в зависимости от того, что имел в виду вопрос.

Объяснение:

Ну если #n = 2 # тогда нет суммы, ответ просто:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Но, возможно, вопрос должен был задавать бесконечную сумму, начиная с # П = 2 # такое, что уравнение имеет вид:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

В этом случае мы бы вычислили его, сначала отметив, что любой геометрический ряд можно рассматривать как имеющий вид:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

В этом случае наша серия имеет #a = 10 # а также #r = 2/3 #.

Также отметим, что:

# сумма_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Таким образом, мы можем просто вычислить сумму геометрического ряда # (2/3) ^ п # а затем умножить эту сумму на #10# прийти к нашему результату. Это делает вещи проще.

У нас также есть уравнение:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Это позволяет нам вычислить сумму ряда, начиная с # П = 0 #, Но мы хотим вычислить это из # П = 2 #, Для этого мы просто вычтем # П = 0 # а также # П = 1 # сроки от полной суммы. Составляя первые несколько слагаемых суммы, мы видим, что это выглядит так:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Мы это видим:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#