Какой забавный, полезный, математический факт, который вы знаете, который обычно не преподается в школе?

Ответ:

Как оценить «башни показателей», такие как #2^(2^(2^2))#и как определить последнюю цифру # 2 ^ п, # # NinNN #.

Объяснение:

Чтобы оценить эти «башни», мы начинаем с вершины и спускаемся вниз.

Так:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

На аналогичной, но немного не связанной ноте я также знаю, как определить последние цифры #2# возводится в любой натуральный показатель. Последняя цифра #2# Возвышенный до чего-то всегда циклически изменяет четыре значения: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Так что, если вы хотите найти последнюю цифру # 2 ^ п #найдите место в цикле, и вы узнаете его последнюю цифру.

Ответ:

Если #n> 0 # а также # A # является приближением к #sqrt (п) #, затем:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))) #

где #b = n-a ^ 2 #

Объяснение:

Предположим, мы хотим найти квадратный корень некоторого числа #n> 0 #.

Кроме того, мы бы хотели, чтобы результатом была какая-то непрерывная дробь, которая повторяется на каждом шаге.

Пытаться:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))) #

# color (white) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (white) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

вычитать # A # с обоих концов получить:

#sqrt (п) -a = Ь / (а + SQRT (п)) #

Умножьте обе стороны на #sqrt (п) + а # получить:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Так что если # А ^ 2 # немного меньше, чем # П #, затем # Б # будет небольшим, и продолженная дробь будет сходиться быстрее.

Например, если у нас есть # П = 28 # и выбрать # А = 5 #тогда мы получим:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Так:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))) #

что дает нам приближения:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Калькулятор говорит мне #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Так что это не сходится особенно быстро.

В качестве альтернативы, мы могли бы поставить # П = 28 # а также # А = 127/24 # найти:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Так:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12 -…))) #

давая нам приближения:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Это сходится намного быстрее.

Ответ:

Вы можете найти приближения к квадратным корням, используя рекурсивно определенную последовательность.

Объяснение:

#белый цвет)()#

Метод

Учитывая положительное целое # П # который не является идеальным квадратом:

• Позволять #p = floor (sqrt (n)) # быть наибольшим положительным целым числом, площадь которого не превышает # П #.

• Позволять #q = n-p ^ 2 #

• Определите последовательность целых чисел:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "для" i> = 1):} #

Тогда соотношение между последовательными членами последовательности будет стремиться к # Р + SQRT (п) #

#белый цвет)()#

пример

Позволять # П = 7 #.

затем #p = floor (sqrt (7)) = 2 #, поскольку #2^2=4 < 7# но #3^2 = 9 > 7#.

затем # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Итак, наша последовательность начинается:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Теоретически соотношение между последовательными членами должно стремиться к # 2 + SQRT (7) #

Посмотрим:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Обратите внимание, что # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#белый цвет)()#

Как это устроено

Предположим, у нас есть последовательность, определяемая заданными значениями # a_1, a_2 # и правило:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

для некоторых констант #п# а также # Д #.

Рассмотрим уравнение:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Корни этого уравнения:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Тогда любая последовательность с общим термином # Ax_1 ^ п + Bx_2 ^ п # будет удовлетворять правилу повторения, которое мы указали.

Далее решаем:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

за # A # а также # B #.

Мы нашли:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

и поэтому:

# А = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# В = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Так что с этими значениями # x_1, x_2, A, B # у нас есть:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Если #q <3p ^ 2 # затем #abs (x_2) <1 # и соотношение между последовательными условиями будет стремиться к # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Ответ:

Модульное подразделение

Объяснение:

Модульное деление - это то же самое, что и деление, за исключением того, что ответ - это остаток вместо фактического значения. Скорее чем #-:# символ, вы используете #%# условное обозначение.

Например, обычно, если вы должны были решить #16-:5# ты бы получил #3# остаток #1# или же #3.2#, Однако, используя модульное разделение, #16%5=1#.

Ответ:

Оценка квадратов с суммированием

Объяснение:

Обычно вы должны знать такие квадраты, как #5^2=25#, Тем не менее, когда цифры становятся больше, такие как #25^2#Становится все труднее узнать с макушки головы.

Я понял, что через некоторое время квадраты - это просто суммы нечетных чисел.

Я имею в виду следующее:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # где # К # это базовое значение минус #1#

Так #5^2# может быть написано как:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Это даст вам:

#1+3+5+7+9#

Это, по сути, #25#.

Поскольку числа всегда увеличиваются на #2#Я мог бы добавить первое и последнее число, а затем умножить на # К / 2 #.

Таким образом, для #25^2#

# сумма_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Так что я могу просто сделать #(49+1)(25/2)# и получить #25^2# который #625#.

Это не очень практично, но интересно знать.

#белый цвет)()#

бонус

Знаю это:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n term" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

позволяет нам решить некоторые проблемы о различиях квадратов.

Например, каковы все решения в натуральных числах #m, n # из # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Это сводится к поиску сумм последовательных нечетных целых чисел #40#…

# 40 = превышение (19 + 21) ^ "в среднем 20" #

# color (white) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

# color (white) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

# color (white) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = превышение (7 + 9 + 11 + 13) ^ "в среднем 10" #

# color (white) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

# color (white) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

# color (white) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #