Оцените неопределенный интеграл: qsqrt (10x x ^ 2) dx?

Ответ:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + с #

Объяснение:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Заполните квадрат, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Замена # U = X-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Замена # И = 5sin (V) # а также # Du = 5cos (V) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Упростить, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Уточнить, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Вынь постоянную, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Применить формулы двойного угла, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Вынь постоянную, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Интеграция, # 25/2 (у + 1 / 2sin (2v)) "+ с #

Заменить обратно # V = агсзш (и / 5) # а также # U = X-5 #

# 25/2 (агсзш ((х-5) / 5) + отменить (1 / 2sin) (отмена (2arcsin) ((х-5) / 5))) "+ с #

Упростить, # 25/2 (агсзш ((х-5) / 5)) + 25/2 ((х-5) / 5) + с #

Уточнить, # 25 / 2arcsin ((х-5) / 5) +5/2 (х-5) + с #, где # C # является константой интеграции.

Тадаа: D

Ответ:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Объяснение:

Что такое #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Обратите внимание, что область интегрируемой функции - это то, где внутренняя квадратика положительна, т.е. #x в 0, 10 #

Это выражение может быть интегрировано с использованием подстановок. Хотя возможный путь интеграции не проявляется сразу, если мы конкурируем с квадратом, то можно выполнить тригонометрическую замену:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Как мы заметили, это классическая форма тригонометрического замещения, то есть квадрат числа минус квадрат линейного #Икс# функция.

Во-первых, чтобы избавиться от линейного, мы позволяем #u = x-5 #, который дает # Ди = ах #Таким образом, мы можем переписать приведенный выше интеграл как:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Теперь для второй замены, пусть #u = 5синтета #, который изменяет интеграл на:

#int sqrt (25-25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (мы можем игнорировать скобки абсолютных значений)

Конечно, # Ах # не помогает, поэтому мы дифференцируем уравнение подстановки, чтобы получить: #du = 5costheta d theta #Итак, интеграл становится:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла, чтобы сделать интегрирование # cos ^ 2 theta # Полегче:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Итак, интеграл становится:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1/2 сина (2 тета) + тета) + c #

# = 25/2 (синтаксокостета + тета) + c # (используя формулу двойного угла)

Сейчас, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Следовательно, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

А также, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #