Как вы находите z, z ^ 2, z ^ 3, z ^ 4 при заданном z = 1/2 (1 + sqrt3i)?

Ответ:

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z ^ 2 = cos (2pi / 3) + isin (2pi / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3) i) #

# z ^ 3 = cos (3pi / 3) + isin (3pi / 3) = -1 #

# z ^ 4 = cos (4pi / 3) + isin (4pi / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3) i) #

Объяснение:

Самый простой способ - использовать теорему Де Мойвра. Для комплексного числа # Г #

# z = r (costheta + isintheta) #

# z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) #

Итак, мы хотим преобразовать наше комплексное число в полярную форму. Модуль #р# комплексного числа # А + би # дан кем-то

#r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

#r = sqrt ((1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 3/4) = 1 #

Комплексное число будет в первом квадранте диаграммы Аргана, поэтому аргумент задается как:

# theta = tan ^ (- 1) (б / а) #

# theta = tan ^ (- 1) ((sqrt (3) / 2) / (1/2)) = tan ^ (- 1) (sqrt (3)) = pi / 3 #

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z ^ 2 = cos (2pi / 3) + isin (2pi / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3) i) #

# z ^ 3 = cos (3pi / 3) + isin (3pi / 3) = -1 #

# z ^ 4 = cos (4pi / 3) + isin (4pi / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3) i) #