Какова проекция (i -2j + 3k) на (3i + 2j - 3k)?

Ответ:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Объяснение:

Чтобы было легче обращаться к ним, давайте назовем первый вектор #vec u # а второй #vec v #, Мы хотим, чтобы проект #vec u # на #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

То есть, на словах, проекция вектора #vec u # на вектор #vec v # это скалярное произведение двух векторов, деленное на квадрат длины #vec v # раз вектор #vec v #, Обратите внимание, что часть в скобках представляет собой скаляр, который говорит нам, как далеко вдоль направления #vec v # проекция достигает.

Во-первых, давайте найдем длину #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Но обратите внимание, что в выражении мы действительно хотим # || vec v || ^ 2 #так что если мы возводим квадрат в обе стороны, мы просто получаем #22#.

Теперь нам нужно скалярное произведение #vec u # а также #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(чтобы найти скалярное произведение, мы умножаем коэффициенты #i, j и k # и добавить их)

Теперь у нас есть все, что нам нужно:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j 3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #