Ответ:
Сделайте много алгебры после применения определения предела, чтобы обнаружить, что наклон в # Х = 3 # является #13#.
Объяснение:
Предельное определение производной:
#f '(х) = lim_ (h-> 0) (е (х +) -f (х)) / ч #
Если мы оценим этот предел для # 3x ^ 2-5x + 2 #мы получим выражение для производное этой функции. Производная - это просто наклон касательной в точке; поэтому оценивая производную в # Х = 3 # даст нам наклон касательной линии в # Х = 3 #.
С этим сказал, давайте начнем:
#f '(х) = lim_ (h-> 0) (3 (х +) ^ 2-5 (х + Н) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / ч #
#f '(х) = lim_ (h-> 0) (3 (х ^ 2 + 2HX + H ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / ч #
#f '(х) = lim_ (h-> 0) (отменить (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-отменить (5x) -5H + отменить (2) -cancel (3x ^ 2) + отменить (5x) -cancel (2)) / ч #
#f '(х) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / ч #
#f '(х) = lim_ (h-> 0) (отмена (ч) (6x + 3H-5)) / отмена (ч) #
#f '(х) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Оценка этого предела в # Ч = 0 #, #f '(х) = 6х + 3 (0) -5 = 6х-5 #
Теперь, когда у нас есть производная, нам просто нужно подключить # Х = 3 # чтобы найти наклон касательной линии там:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Ответ:
Смотрите раздел объяснений ниже, если ваш учитель / учебник использует #lim_ (xrarra) (Р (х) -f (а)) / (х-а) #
Объяснение:
Некоторые представления исчисления используют для определения наклона линии, касательной к графику #f (х) # в точке, где # х = # является #lim_ (xrarra) (Р (х) -f (а)) / (х-а) # при условии, что предел существует.
(Например, 8-е издание Джеймса Стюарта Исчисление с 106. На странице 107 он дает эквивалент #lim_ (hrarr0) (е (а + з) -f (а)) / ч #.)
При этом определении наклон касательной к графику #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # в точке, где # Х = 3 # является
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (х-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Обратите внимание, что этот лимит имеет неопределенную форму #0/0# так как #3# является нулем многочлена в числителе.
поскольку #3# это ноль, мы знаем, что # Х-3 # это фактор. Таким образом, мы можем учесть, уменьшить и попытаться оценить снова.
# = lim_ (xrarr3) (отменить ((x-3)) (3x + 4)) / отменить ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Предел #13#, поэтому наклон касательной линии в # Х = 3 # является #13#.
