Какова проекция (4 i + 4 j + 2 k) на (i + j -7k)?

Ответ:

Векторная проекция #< -2/17,-2/17,14/17 >#скалярная проекция # (- 2sqrt (51)) / 17 #, Увидеть ниже.

Объяснение:

Дано # Veca = (4i + 4j + 2k) # а также # vecb = (i + j-7k) #, мы можем найти #proj_ (vecb) Veca #, вектор проекция # Veca # на # Vecb # используя следующую формулу:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

То есть скалярное произведение двух векторов делится на величину # Vecb #, умножается на # Vecb # делится на его величину. Вторая величина является векторной величиной, поскольку мы делим вектор на скаляр. Обратите внимание, что мы делим # Vecb # по величине, чтобы получить единичный вектор (вектор с величиной #1#).Вы можете заметить, что первая величина является скалярной, поскольку мы знаем, что когда мы берем скалярное произведение двух векторов, в результате получается скаляр.

Следовательно скаляр проекция # A # на # Б # является #comp_ (vecb) Veca = (а * Ь) / # (| | б)также написано # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Мы можем начать с вычисления скалярного произведения двух векторов, которое можно записать в виде # veca = <4,4,2> # а также # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Тогда мы можем найти величину # Vecb # взяв квадратный корень из суммы квадратов каждого из компонентов.

# | Vecb | = SQRT ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) 2 ^) #

# | Vecb | = SQRT ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => SQRT (1 + 1 + 49) = SQRT (51) #

И теперь у нас есть все, что нам нужно, чтобы найти векторную проекцию # Veca # на # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Вы можете распределить коэффициент по каждому компоненту вектора и записать как:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Скалярная проекция # Veca # на # Vecb # это только первая половина формулы, где #comp_ (vecb) Veca = (а * Ь) / # (| | б), Следовательно, скалярная проекция # -6 / SQRT (51) #, что не упрощает дальше, кроме того, чтобы рационализировать знаменатель при желании, давая # (- 6 кв. (51)) / 51 => (-2 кв. (51)) / 17 #

Надеюсь, это поможет!