Треугольник имеет углы A, B и C, расположенные в (3, 5), (2, 9) и (4, 8) соответственно. Каковы конечные точки и длина высоты, проходящей через угол C?

Ответ:

Endpoints #(4,8)# а также #(40/17, 129/17) # и длина # 7 / sqrt {17} #.

Объяснение:

Я очевидно эксперт в ответе на двухлетние вопросы. Давай продолжим.

Высота через C является перпендикуляром от AB до C.

Есть несколько способов сделать это. Мы можем рассчитать наклон AB как #-4,# тогда наклон перпендикуляра #1/4# и мы можем найти встречу перпендикуляра через C и линию через A и B. Давайте попробуем другой путь.

Давайте назовем ногу перпендикуляра #F (х, у) #, Мы знаем, что скалярное произведение вектора направления CF на вектор направления AB равно нулю, если они перпендикулярны:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Это одно уравнение. Другое уравнение говорит #F (х, у) # находится на линии через А и В:

# (у - 5) (2-3) = (х-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Они встречаются когда

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# х - 68 + 16 х = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Длина CF высоты над уровнем моря

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Давайте проверим это, вычислив площадь, используя формулу шнурка, а затем определим высоту. А (3,5), В (2,9), С (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 ч sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #