Радиус круга, вписанного в равносторонний треугольник, равен 2. Каков периметр треугольника?

Ответ:

Периметр равен # 12sqrt (3) #

Объяснение:

Есть много способов решить эту проблему.

Вот один из них.

Центр круга, вписанного в треугольник, лежит на пересечении биссектрисы его углов. Для равностороннего треугольника это та же точка, где его высоты и медианы также пересекаются.

Любая медиана делится на точку пересечения с другими медианами пропорционально #1:2#, Следовательно, медиана, высота и угол деления рассматриваемого равностороннего треугольника равны

#2+2+2 = 6#

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти сторону этого треугольника, если мы знаем его деление высоты / медианы / угла.

Если сторона #Икс#из теоремы Пифагора

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Из этого:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) х = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Периметр равен трем таким сторонам:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Ответ:

Периметр равен # 12sqrt (3) #

Объяснение:

Альтернативный метод ниже.

Предположим, наш равносторонний треугольник #Delta ABC # и это центр вписанного круга # O #.

Нарисуйте биссектрису медианы / altitude.angle из вершины # A # сквозная точка # O # пока он не пересекает сторону #ДО НАШЕЙ ЭРЫ# в точке # M #, Очевидно, что # ОМ = 2 #.

Рассмотрим треугольник # Delta OBM #.

Это право поскольку #OM_ | _BM #.

Угол # / _ OBM = 30 ^ о # поскольку # BO # это биссектриса угла # / _ ABC #.

Боковая сторона # BM # это половина стороны #ДО НАШЕЙ ЭРЫ# поскольку # AM # это медиана

Теперь мы можем найти # OB # как гипотенуза в прямоугольном треугольнике с одним острым углом, равным # 30 ^ о # и противоположный ему катет равен #2#, Эта гипотенуза в два раза длиннее этого катета, то есть #4#.

Наличие гипотенузы # OB # и катет # OM #найти другой катет # BM # по теореме Пифагора:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Следовательно,

# БМ = SQRT (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Периметр

# 3 * BC = 12sqrt (3) #