Предположим, что z = x + yi, где x и y - действительные числа. Если (iz-1) / (z-i) является действительным числом, покажите, что когда (x, y) не равны (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Ответ:

Пожалуйста, смотрите ниже,

Как # Г = х + гу #

# (Из- 1) / (г-я) = ((х + гу) -1) / (х + гу-я) #

= # (IX-у-1) / (х + я (у-1)) #

= # (IX- (у + 1)) / (х + я (у-1)) хх (х-я (у-1)) / (х-я (у-1)) #

= # ((IX- (у + 1)) (х-я (у-1))) / (х ^ 2 + (у-1) ^ 2) #

= # (IX ^ 2 + х (у-1) -x (у + 1) + I (у ^ 2-1)) / (х ^ 2 + (у-1) ^ 2) #

= # (Х ((у-1) - (у + 1)) + (х ^ 2 + у ^ 2-1)) / (х ^ 2 + (у-1) ^ 2) #

= # (- 2х + (х ^ 2 + у ^ 2-1)) / (х ^ 2 + (у-1) ^ 2) #

Как # (Из- 1) / # (г-я) реально

# (Х ^ 2 + у ^ 2-1) = 0 # а также # Х ^ 2 + (у-1) ^ 2! = 0 #

Сейчас как # Х ^ 2 + (у-1) ^ 2 # сумма двух квадратов, она может быть нулевой только тогда, когда # Х = 0 # а также # У = 1 # то есть

если # (Х, у) # не является #(0,1)#, # Х ^ 2 + у ^ 2 = 1 #