X (P (x) Q (x)) PxP (x) xQ (x) (x (P (x) Q (x)) PxP (x) QxQ (x ). Пожалуйста, помогите мне с первым утверждением?

Чтобы понять эти утверждения, мы сначала должны понять используемые обозначения.

# AA # - для всех - Этот символ означает, что что-то верно для каждого примера в наборе. Итак, когда мы добавляем переменную #Икс#, # AAx # означает, что какое-то утверждение относится к каждому возможному значению или элементу, который мы можем заменить на #Икс#.
#P (x), Q (x) # - предложение - Это логичные предложения относительно #Икс#то есть они представляют заявления о #Икс# которые являются истинными или ложными для любого конкретного #Икс#.
# # - а также - Этот символ допускает комбинацию нескольких предложений. Объединенный результат верен, когда оба предложения возвращают истину, и ложь в противном случае.
# # - или же - Этот символ также позволяет комбинировать несколько предложений. Объединенный результат ложен, когда оба предложения возвращают ложь, и истина в противном случае.
# # - если и только если - Этот символ также позволяет комбинировать несколько предложений. Объединенный результат верен, когда оба предложения возвращают одно и то же значение истинности для всех #Икс#и ложь в противном случае.

Теперь мы можем перевести заявления. Первое утверждение, прямо сформулированное, будет звучать как «Для всех x, P из x и Q из x тогда и только тогда, когда для всех x, P из x и для всех x, Q из x».

Некоторые незначительные дополнения и модификации делают его немного более понятным.

«Для всех x, P и Q истинны для x тогда и только тогда, когда P истинно для всех x и Q истинно для всех x».

Это утверждение является тавтологией, то есть оно верно независимо от того, что мы подставляем в P или Q. Мы можем показать это, продемонстрировав, что предложение до the подразумевает одно после него, и наоборот.

Начиная с предыдущего заявления, мы имеем это для каждого #Икс#, #P (х) Q (х) # правда. По нашему определению выше, это означает, что для каждого #Икс#, #P (х) # это правда и #Q (х) # правда. Это подразумевает, что для любого #Икс#, #P (х) # верно и для любого #Икс#, #Q (х) # верно, что является утверждением, появляющимся после.

Если мы начнем с утверждения, появляющегося после, то мы знаем, что для любого #Икс#, #P (х) # верно и для любого #Икс#, #Q (х) # правда. Тогда для всех #Икс#, #P (х) # а также #Q (х) # оба верны, что означает для всех #Икс#, #P (х) Q (х) # правда. Это доказывает, что первое утверждение всегда верно.

Второе утверждение неверно. Не проходя весь процесс, как описано выше, мы можем просто показать, что два предложения по обе стороны от of не всегда имеют одинаковое значение истинности. Например, предположим, что для половины всего возможного #Икс#, #P (х) # это правда и #Q (х) # ложно, а для другой половины, #Q (х) # это правда и #P (х) # ложно

В этом случае как для всех #Икс#, или #P (х) # или же #Q (х) # верно, предложение #AAx (Р (х) Q (х)) # верно (см. описание выше). Но, потому что есть значения для #Икс# для которого #P (х) # ложно, предложение #AAxP (х) # ложно Так же, #AAxQ (х) # также неверно, что означает #AAxP (х) AAxQ (х) # ложно

Поскольку эти два предложения имеют разные значения истинности, очевидно, что истинность одного не гарантирует правды другого, и поэтому их объединение с with приводит к новому утверждению, которое является ложным.