Что такое полуугловые тождества?

Тождества полуугловых определяются следующим образом:

# mathbf (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)) #

#(+)# для квадрантов я а также II

#(-)# для квадрантов III а также IV

# mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)) #

#(+)# для квадрантов я а также IV

#(-)# для квадрантов II а также III

# mathbf (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx))) #

#(+)# для квадрантов я а также III

#(-)# для квадрантов II а также IV

Мы можем извлечь их из следующих личностей:

# sin ^ 2x = (1-cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1-cos (x)) / 2 #

#color (blue) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) #

Зная, как # SiNx # положительно для #0-180^@# и отрицательный для #180-360^@#мы знаем, что это положительно для квадрантов я а также II и отрицательный для III а также IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

#color (blue) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

Зная, как # Cosx # положительно для #0-90^@# а также #270-360^@#и отрицательный для #90-270^@#мы знаем, что это положительно для квадрантов я а также IV и отрицательный для II а также III.

#tan (x / 2) = sin (x / 2) / (cos (x / 2)) = (pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) / (pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

#color (blue) (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / (1 + cos (x)))) #

Мы можем видеть, что если мы примем условия для положительных и отрицательных значений из # SiNx # а также # Cosx # и разделив их, мы получаем, что это положительно для квадрантов я а также III и отрицательный для II а также IV.