Ответ:
Это точно один из корней #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # где #T_n (х) # это # П #й чебышевский полином первого рода. Это один из сорока шести корней:
# 8796093022208 х ^ 44 - 96757023244288 х ^ 42 + 495879744126976 х ^ 40 - 1572301627719680 х ^ 38 + 3454150138396672 х ^ 36 - 5579780992794624 х ^ 34 + 6864598984556544 х ^ 32 - 6573052309536768 х ^ 30 + 4964023879598080 х ^ 28 - 2978414327758848 х ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 8 884 8 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953917 x 48 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826012606 216 186 186 186 181 184 185 183 182 182642321 (1864) 1861 + 18 + 18 + 18 + 18 + 2 6 6 6 6 8 8 8 6 6 6 6 6 6 6 8 6 8 6 6 6 6 6 8 6 6 6 6 6 8 6 6 6 6 6 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 8 6 6 6 6 6 8 6 6 6 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 18 18 8 18 18 что 18 больше 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Объяснение:
# 58 ^ CIRC # не кратно # 3 ^ CIRC #, Кратно # 1 ^ # КОНТУР которые не кратны # 3 ^ CIRC # не могут быть построены с помощью линейки и компаса, и их триггерные функции не являются результатом некоторой композиции целых чисел, использующей сложение, вычитание, умножение, деление и квадратный корень.
Это не значит, что мы не можем записать какое-то выражение для #cos 58 ^ circ #, Давайте возьмем знак степени, чтобы означать фактор # {2р} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = потому что 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #
#e ^ {- i 58 ^ circ} = потому что 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Не очень полезно.
Мы можем попытаться записать полиномиальное уравнение, один из корней которого #cos 58 ^ circ # но это, вероятно, будет слишком большим, чтобы соответствовать.
# Тета = 2 ^ CIRC # является #180#й круга. поскольку #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # это означает #cos 2 ^ circ # удовлетворяет
#cos (44 тета) = -cos (46 тета) #
#cos (180 ^ circ -44 тета) = cos (46 тета) #
Давайте решим это для # Тета # первый. #cos x = cos a # имеет корни # x = pm a + 360 ^ circ k, # целое число # К #.
# 180 ^ circ -46 тета = pm 44 тета - 360 ^ circ k #
# 46 тета pm 44 тета = 180 ^ цирк + 360 ^ цирк к #
# theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k или theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
Это много корней, и мы видим, # Тэта = 58 ^ CIRC # среди них.
Многочлены #T_n (х) #, называемые полиномами Чебышева первого рода, удовлетворяют #cos (n theta) = T_n (cos theta) #, Они имеют целочисленные коэффициенты. Мы знаем первые несколько из формул двойного и тройного угла:
#cos (0 theta) = 1 четырехугольник # так# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # так# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 четырехугольник # так # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # так # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Есть хорошее рекурсивное отношение, которое мы можем проверить:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Таким образом, в теории мы можем генерировать их как большие # П # как мы заботимся.
Если мы позволим # x = cos theta, # наше уравнение
#cos (44 тета) = -cos (46 тета) #
становится
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha рада рассказать нам, что это такое. Я напишу уравнение только для проверки математического рендеринга:
# 8796093022208 х ^ 44 - 96757023244288 х ^ 42 + 495879744126976 х ^ 40 - 1572301627719680 х ^ 38 + 3454150138396672 х ^ 36 - 5579780992794624 х ^ 34 + 6864598984556544 х ^ 32 - 6573052309536768 х ^ 30 + 4964023879598080 х ^ 28 - 2978414327758848 х ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 8 884 8 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953917 x 48 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826012606 216 186 186 186 181 184 185 183 182 182642321 (1864) 1861 + 18 + 18 + 18 + 18 + 2 6 6 6 6 8 8 8 6 6 6 6 6 6 6 8 6 8 6 6 6 6 6 8 6 6 6 6 6 8 6 6 6 6 6 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 8 6 6 6 6 6 8 6 6 6 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 18 18 8 18 18 что 18 больше 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Да, этот ответ становится длинным, спасибо Сократу. В любом случае, один из корней этого полинома 46-й степени с целыми коэффициентами # cos 58 ^ circ #.
