Что такое ортоцентр треугольника с углами в (9, 7), (4, 4) и (8, 6) #?

Ответ:

Увидеть ниже.

Объяснение:

Мы будем называть вершины # А = (4,4) #, # В = (9,7) # а также # С = (8,6) #.

Нам нужно найти два уравнения, которые перпендикулярны двум сторонам и проходят через две вершины. Мы можем найти наклон двух сторон и, следовательно, наклон двух перпендикулярных линий.

Наклон АБ:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Наклон перпендикулярно этому:

#-5/3#

Это должно пройти через вершину C, так что уравнение линии:

# У-6 = -5/3 (х-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Наклон до н.э.:

#(6-7)/(8-9)=1#

Наклон перпендикулярно этому:

#-1#

Это должно пройти через вершину A, поэтому уравнение линии:

# У-4 = - (х-4) #, # У = х + 8 # 2

Где 1 и 2 пересекаются, это ортоцентр.

Решение 1 и 2 одновременно:

# 3 (х + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => х = 34/2 = 17 #

Используя 2:

# У = -17 + 8 = -9 #

ортоцентр:

#(17, -9)#

Поскольку треугольник тупой, ортоцентр находится за пределами треугольника. это можно увидеть, если продлить линии высоты, пока они не пересекутся.

Ответ:

ортоцентр

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Окружность

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Объяснение:

ортоцентр

Дано # p_1, p_2, p_3 # а также

# VEC V_ (12), VEC V_ (13), VEC V_ (23) # такой, что

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Эти векторы легко получить, например, # p_1 = (x_1, y_1) # а также # p_2 = (x_2, y_2) # а потом

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Теперь у нас есть

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Эти три линии пересекаются в ортоцентре треугольника

Выбор # L_1, L_2 # у нас есть

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # или же

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

давая уравнения

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Сейчас решаю для # Lambda_1, lambda_2 # у нас есть

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

а потом

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Окружность

Уравнение окружности дается

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

сейчас если # {p_1, p_2, p_3} в C # у нас есть

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0) (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

вычитая первое из второго

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

вычитая первое из третьего

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

давая систему уравнений

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 +) y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Теперь подставляя заданные значения, получаем

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Прикреплен график, показывающий ортоцентр (красный) и центр окружности (синий).