Y = f (x)График, y = f (3x) -2 и y = -f (x-1)?

Ответ:

Не имейте под рукой миллиметровку - так что я надеюсь, что описание поможет!

Объяснение:

За # У = F (3x) -2 # первый выжимать данный график вдоль #Икс# ось с коэффициентом 3 (так что левый минимум, скажем, происходит в # Х = -2/3 #), а затем нажмите весь график вниз на 2 единицы. Таким образом, новый график будет иметь минимум при #x = -2 / 3 # со значением # y = -2 #максимум при #(0,0)# и еще один минимум в #(4/3, -4)#

За # У = -f (х-1) # сначала сдвиньте блок графика 1 на право, затем переверните его! Таким образом, новый график будет иметь два максима в #(-1,0)# а также #(5,2)# и минимум на #(1,-2) #

Ответ:

Вот более подробное объяснение

Объяснение:

Проблемы являются частными случаями более общей проблемы:

Учитывая график для # У = F (X) #что такое график #y = a f (b x + c) + d # ?

(первый для # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #в то время как второй для # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Я постараюсь объяснить ответ поэтапно, решая проблему по одному шагу за раз. Это будет довольно длинный ответ - но, надеюсь, общий принцип станет ясен к концу.

Для иллюстрации я буду использовать конкретную кривую, которую я показываю ниже, но идея будет работать в целом.

(Если кому-то интересно, функция, которая здесь изображена, #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Учитывая график для # У = F (X) #что такое график #y = f (x) + d # ?

Это легко - все, что вам нужно сделать, это заметить, что если # (Х, у) # точка на первом графике, то # (Х, у + г) # это точка на втором. Это означает, что второй график выше первого на расстояние # D # (конечно, если # D # отрицательно, это ниже, чем первый график на # | D | #).

Итак, график # У = F (х) + 1 # будет

Как видите, график для #y = f (x) + 1 # (сплошная фиолетовая линия) получается простым нажатием на график для # У = F (X) # (серая пунктирная линия) вверх на одну единицу.

График для # У = F (X) -1 # можно найти, нажав на исходный график вниз на одну единицу:

2) Учитывая график для # У = F (X) #что такое график #y = f (x + c) # ?

Легко видеть, что если # (Х, у) # это точка на # У = F (X) # график, то # (Х-с, у) # будет точка на #y = f (x + c) # граф. Это означает, что вы можете получить график #y = f (x + c) # из графика #y = f (x) # просто сдвинув его к оставил от # C # (конечно, если # C # отрицательно, вы должны сдвинуть исходный график на # | С | # направо.

В качестве примера приведен график для # У = F (х + 1) # можно найти, нажав на исходный график оставил на одну единицу:

пока что для # У = Р (х-1) # включает в себя подталкивание исходного графика к право на одну единицу:

3) Учитывая график для # У = F (X) #что такое график #y = f (bx) # ?

поскольку #f (x) = f (b раз x / b) # из этого следует, что если # (Х, у) # это точка на #y = f (x) # график, то # (х / б, у) # это точка на # У = F (BX) # граф.

Это означает, что исходный график должен быть выжатый по фактору # Б # вдоль #Икс# ось. Конечно, сжимая # Б # действительно растягивание от # 1 / б # для случая, когда # 0 <b <1 #

График для # У = F (2x) # является

Обратите внимание, что хотя высота остается неизменной на уровне 1, ширина уменьшается в 2 раза. В частности, пик исходной кривой сместился с # Х = 1 # в # Х = 1/2 #.

С другой стороны, график для # У = Р (х / 2) # является

Обратите внимание, что этот график в два раза шире (сжимая #1/2# равно растяжению в 2 раза), и пик также переместился из # Х = 1 # в # Х = 2 #.

Особо следует упомянуть случай, когда # Б # отрицательно. Возможно, лучше всего думать об этом как о двухэтапном процессе.

• Сначала найдите график # У = F (-x) #, а потом
• сжать полученный график # | Б | #

Обратите внимание, что для каждой точки # (Х, у) # исходного графика, точка # (- х, у) # это точка на графике # У = F (-x) # - так что новый график можно найти, отражая старый график о # Y # ось.

В качестве иллюстрации двухэтапного процесса рассмотрим график # У = F (-2x) # показано ниже:

Вот исходная кривая, что для # У = F (X) # сначала перевернулся о # Y # ось, чтобы получить кривую для # У = F (-x) # (тонкая голубая линия). Это тогда сжимается фактором #2# чтобы получить кривую для # У = F (-2x) # - толстая фиолетовая кривая.

4) Учитывая график для # У = F (X) #что такое график #y = af (x) # ?

Здесь такая же картина - если # (Х, у) # точка на исходной кривой, то # (Х, ау) # это точка на графике # У = а (х) #

Это означает, что для положительного # A #график растягивается в # A # вдоль # Y # ось. Опять же, значение # A # между 0 и 1 означает, что вместо растяжения кривая будет фактически сжиматься с коэффициентом # 1 / а # вдоль # Y # ось.

Кривая ниже для # y = 2f (x) #

Обратите внимание, что в то время как пик имеет то же значение #Икс# - его высота удвоилась до 2 с 1. Конечно, растягивается не только пик - # У # координата каждой точки исходной кривой была удвоена, чтобы получить новую кривую.

На рисунке ниже показано сжатие, которое происходит, когда #0<>

Еще раз, случай для #a <0 # проявляет особую осторожность - и лучше, если вы сделаете это в два этапа

1. Сначала переверните кривую вверх ногами вокруг #ИКС# ось, чтобы получить кривую для # У = f (х) #
2. Растянуть кривую # | | # вдоль # Y # ось.

Кривая для # У = f (х) # является

в то время как изображение ниже иллюстрирует два шага, вовлеченных в рисование кривой для #y = -2f (x) #

Собираем все вместе

Теперь, когда мы прошли отдельные шаги, давайте соединим их все вместе! Процедура рисования кривой для

# y = a f (bx + c) + d #

начиная с этого из # У = F (X) # в основном состоит из следующих шагов

1. Построить кривую # У = Р (х + с) #: сдвинуть график на расстояние # C # налево
2. Затем подготовьте #y = f (bx + c) #: сожмите кривую, полученную на шаге 1 в #ИКС# направление по фактору # | Б | #, (сначала перевернуть # Y # ось, если #b <0 #)
3. Затем построите график # У = а (Ьх + с) #: масштабировать кривую, полученную на шаге 2, с коэффициентом # A # в вертикальном направлении.
4. Наконец нажмите на кривую, полученную в шаге 3, на расстояние вверх # D # чтобы получить окончательный результат.

Конечно, вам нужно выполнить все четыре шага только в крайних случаях - часто будет меньшее количество шагов! Также важна последовательность шагов.

Если вам интересно, эти шаги следуют из того факта, что если # (Х, у) # это точка на # У = F (X) # график, то точка

# ({x-c} / b, ay + d) # на # У = а (Ьх + с) + D # граф.

Позвольте мне проиллюстрировать процесс на примере с нашей функцией #f (х) #, Попробуем построить график для #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Первый - сдвиг влево на 3 единицы

Затем: сожмите в 2 раза вдоль #ИКС# ось

Затем, перевернув график о #ИКС# ось, а затем масштабирование в 2 раза вдоль # Y #

Наконец, сдвиг кривой на 1 единицу - и все готово!