Q.1 Если альфа, бета являются корнями уравнения x ^ 2-2x + 3 = 0, получите уравнение, корни которого - альфа ^ 3-3 альфа ^ 2 + 5 альфа -2 и бета ^ 3-бета ^ 2 + бета + 5?

# Q.1 # Если # Альфа, бета # являются корнями уравнения # Х ^ 2-2x + 3 = 0 # получить уравнение, корни которого # альфа ^ 3-3 альфа ^ 2 + 5 альфа -2 # а также # Бета ^ 3-бета ^ 2 + бета + 5 #?

Ответ

заданное уравнение # Х ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => Х = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

Позволять # альфа = 1 + sqrt2i и бета = 1-sqrt2i #

Теперь давай

# гамма = альфа ^ 3-3 альфа ^ 2 + 5 альфа -2 #

# => гамма = альфа ^ 3-3 альфа ^ 2 + 3 альфа -1 + 2альфа-1 #

# => Гамма = (альфа-1) ^ 3 + альфа-1 + альфа- #

# => Гамма = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => Гамма = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + 1 = sqrt2i #

И разреши

# Дельта = бета ^ 3-бета ^ 2 + бета + 5 #

# => Дельта = бета ^ 2 (бета-1) + бета + 5 #

# => Дельта = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Дельта = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Дельта = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Таким образом, квадратное уравнение, имеющее корни # гамма и дельта # является

# Х ^ 2- (гамма-дельта +) х + gammadelta = 0 #

# => Х ^ 2- (1 + 2) х + 1 * 2 = 0 #

# => Х ^ 2-3x + 2 = 0 #

# Q.2 # Если один корень уравнения # Ах ^ 2 + BX + с = 0 # быть квадратом другого, Докажи это # Б ^ 3 + а ^ 2c + AC ^ 2 = 3ABC #

Пусть один корень будет #альфа# тогда другой корень будет # Альфа ^ 2 #

Так # Альфа ^ 2 + альфа = -b / а #

а также

# Альфа ^ 3 = с / а #

# => Альфа ^ 3-1 = с / а-1 #

# => (Альфа-1) (альфа ^ 2 + альфа + 1) = C / A-1 = (с-а) / а #

# => (Альфа-1) (- Ь / а + 1) = (с-а) / а #

# => (Альфа-1) ((а-б) / а) = (с-а) / а #

# => (Альфа-1) = (с-а) / (а-б) #

# => Альфа = (с-а) / (а-б) + 1 = (с-Ь) / (а-б) #

Сейчас #alpha # являясь одним из корней квадратного уравнения # Ах ^ 2 + BX + с = 0 # мы можем написать

# Aalpha ^ 2 + balpha + с = 0 #

# => А ((с-Ь) / (а-б)) ^ 2 + Ь ((с-Ь) / (а-б)) + с = 0 #

# => А (с-б) ^ 2 + Ь (с-б) (а-Ь) + с (а-б) ^ 2 = 0 #

# => Ас ^ 2-2abc + абы ^ 2 + абакавир-абы ^ 2-Ь ^ 2c + Ь ^ 3 + Ca ^ 2-2abc + Ь ^ 2c = 0 #

# => Ь ^ 3 + а ^ 2c + AC ^ 2 = 3ABC #

доказано

альтернатива

# Aalpha ^ 2 + balpha + с = 0 #

# => Aalpha + B + C / альфа = 0 #

# => А (с / а) ^ (1/3) + B + C / ((с / а) ^ (1/3)) = 0 #

# => С ^ (1/3) а ^ (2/3) + с ^ (2/3) а ^ (1/3) = - б #

# => (С ^ (1/3) а ^ (2/3) + с ^ (2/3) а ^ (1/3)) ^ 3 = (- б) ^ 3 #

# => (С ^ (1/3) а ^ (2/3)) ^ 3 + (с ^ (2/3) а ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) а ^ (2/3) XXC ^ (2/3) а ^ (1/3) (с ^ (1/3) а ^ (2/3) + с ^ (2/3) а ^ (1/3)) = (- б) ^ 3 #

# => Са ^ 2 + с ^ 2а + 3с (-b) = (- б) ^ 3 #

# => Ь ^ 3 + Ca ^ 2 + с ^ 2a = 3ABC #