Треугольник А имеет площадь 9 и две стороны длиной 6 и 9. Треугольник B похож на треугольник A и имеет сторону длины 12. Каковы максимальные и минимально возможные площади треугольника B?

Ответ:

Min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ок. 5.922584784 … #

Максимум # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} приблизительно 85,39448839 … #

Объяснение:

Дано:

# Area _ { triangleA} = 9 #

Длина стороны # triangleA # являются # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Длина стороны # triangleB # являются # U, V, W #

#U = 12 #

# треугольник A text {Similar} треугольник B #

сначала решить для # Z #:

используйте формулу Герона: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # где # S = frac {A + B + C} {2} #, sub в области 9 и длинах сторон 6 и 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Позволять # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

использовать квадратичную формулу

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Отклонить отрицательные решения как # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

таким образом # Z ок 3.895718613 # а также # 14.79267983 # соответственно

# потому что треугольник A text {аналогичный} треугольник B, область _ { треугольник B} = k ^ 2 * область _ { triangleA} # где # К # является фактором изменения размера

# k = 12 / s # где расположены в порядке возрастания: #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

или в десятичной форме: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Чем больше значение # S # чем меньше площадь и тем меньше значение # S # чем больше площадь,

Таким образом, для минимизации выбора площади # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

и чтобы максимизировать площадь выберите # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Таким образом, минимальная площадь # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ок. 5.922584784 … #

и максимальная площадь # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} приблизительно 85,39448839 … #