Пусть vec (x) - вектор, такой что vec (x) = ( 1, 1), и пусть R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], то есть вращение Оператор. Для тета = 3 / 4pi найти vec (y) = R (тета) vec (x)? Сделать эскиз, показывающий x, y и θ?

Это оказывается вращением против часовой стрелки. Можете ли вы угадать, на сколько градусов?

Позволять #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # быть линейным преобразованием, где

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Обратите внимание, что это преобразование было представлено как матрица преобразования #R (тета) #.

Что это значит, так как #Р# это матрица вращения, которая представляет вращательное преобразование, мы можем умножить #Р# от # Vecx # выполнить эту трансформацию.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Для # MxxK # а также # KxxN # матрица, результатом является #color (зеленый) (MxxN) # матрица, где # M # это строка размерность и # N # это колонка измерение. То есть:

# (y_ (11), y_ (12), …, y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2), …, y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12), …, R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22), …, R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), …, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22), …, x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2), …, x_ (kn)) #

Поэтому для # 2xx2 # матрица, умноженная на # 1xx2 #мы должны транспонировать вектор, чтобы получить # 2xx1 # вектор столбца, давая нам ответ, который является # Mathbf (2xx1) # вектор столбца.

Умножение этих двух дает:

# (Costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) хх (- 1), (1) #

# = (-costheta - Синтета), (- Синтета + Костета) #

Далее мы можем подключить #theta = (3pi) / 4 # (который я предполагаю, правильный угол), чтобы получить:

# color (blue) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (тета) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) #

# = цвет (синий) ((0), (- sqrt2)) #

Теперь, давайте построим график, чтобы увидеть, как это выглядит. Я могу сказать, что это вращение против часовой стрелкипосле определения трансформированного вектора.

Действительно, вращение против часовой стрелки #135^@#.

ВЫЗОВ: Может быть, вы можете рассмотреть, что происходит, когда матрица # (Костета, Синтета), (- Синтета, Костета) # вместо. Как вы думаете, это будет по часовой стрелке?