Как вы проверяете сходимость на 1 / ((2n + 1)!)?

Ответ:

В случае, если вы имели в виду «проверить сходимость серии: #sum_ (п = 1) ^ (оо) 1 / ((2n + 1)!) #'

Ответ: это #color (синий) "сходится" #

Объяснение:

Чтобы узнать, мы можем использовать тест отношения.

То есть если #"ООН"# это # П ^ "е" # срок этой серии

Тогда, если мы покажем, что #lim_ (nrarr + оо) абс ("U", _ ("п" + 1) / _n "U") <1 #

это означает, что ряд сходится

С другой стороны, если #lim_ (nrarr + оо) абс (("U", _ ("п" + 1)) / "U" _n)> 1 #

это означает, что серия расходится

В нашем случае

# "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# а также

# "U", _ ("п" + 1) = 1 / (2 (п + 1) + 1!) = 1 / (2n + 3!) #

Следовательно, # "U", _ ("п" + 1) / "U" _n = 1 / ((2n + 3)!) ÷ 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

#"Заметить, что":#

# (2n + 3)! = (2n + 3) хх (2n + 2) хх (2n + 1)! #

Как: # 10! = 10xx9xx8! #

Мы вычитаем #1# каждый раз, чтобы получить следующий

Итак, мы имеем, # "U", _ ("п" + 1) / "U" _n = ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2п + 3) (2n + 2)) #

Далее мы тестируем, #lim_ (nrarr + оо) абс ("U", _ ("п" + 1) / "U" _n) #

# = Lim_ (nrarr + оо) абс (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + оо) 1 / ((4n ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 "" # а также #0# меньше чем #1#

Следовательно, совершенно безопасно сделать вывод, что серия #color (blue) "сходится"! #

Используйте Ratio Test, чтобы найти сходимость следующих серий?

Ряд расходится, потому что предел этого отношения> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 Пусть a_n будет n-м членом этого ряда: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Тогда a_ (n + 1 ) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ( (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = ( (2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Ограничение этого отношени

Как определить сходимость или расхождение последовательности an = ln (n ^ 2) / n?

Эта последовательность сходится Чтобы определить, сходится ли последовательность a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n, мы наблюдаем, что a_n при n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Используя правило Л'Опитала, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Поскольку lim_ (n-> oo) a_n является конечным значением, последовательность сходится.

Как проверить сходимость на сумму (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) для k = 1 до бесконечности?

Ряд сходится абсолютно. Сначала отметим, что: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 для k = 1 ... oo и (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 для k = 1 ... oo Следовательно, если сумма 5 / k ^ 3 сходится, то сумма будет (4 + abs (cosk)) / k ^ 3, так как она будет меньше, чем новое выражение (и положительное). Это р-серия с р = 3> 1. Поэтому ряды сходятся абсолютно: см. Http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html для получения дополнительной информации.