Решить это с помощью интеграла Римана?

Ответ:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # или же # ок 1.302054638 … #

Объяснение:

Самым важным тождеством номер один для решения любой проблемы с бесконечным произведением является его преобразование в проблему бесконечных сумм:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

АКЦЕНТ:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Но прежде чем мы сможем это сделать, мы должны сначала разобраться с # frac {1} {n ^ 2} в уравнении, и, кстати, назовем бесконечное произведение L:

# L = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Теперь мы можем преобразовать это в бесконечную сумму:

# L = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

применить свойства логарифма:

# L = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

И используя свойства ограничения:

# L = exp lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Назовем бесконечную сумму S:

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

И имейте в виду, что

# L = exp (S) #

Теперь давайте решим ваш вопрос, преобразовав его из РЕЙМАНН СУММ к ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:

Напомним, определение суммы Римана:

АКЦЕНТ:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Позволять

# lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Теперь пусть # f (x) = ln (1 + x ^ 2) и a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Таким образом, b = 1, т.е.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Следовательно,

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Решить для # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

использовать интеграцию по частям:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Позволять # u = ln (1 + x ^ 2) и v = 1 #

Затем используйте правило цепи и производную натурального логарифма, чтобы получить # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

и используйте правило силы, чтобы получить: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Используйте правило вычитания:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Используйте правило степени для первого интеграла, а второй интеграл является стандартной тригонометрической функцией # arctan (x) # (обратная функция касательной)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Таким образом, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Теперь решите для определенного интеграла:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

мы знаем, что анти-производная # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #Таким образом, # S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 арктана (1) - 0 + 0 - арктана (0) #

обратите внимание, что арктан (1) составляет 45 ° или # frac { pi} {4} # (вспомните специальный прямоугольный треугольник с длинами сторон 1,1, # SQRT {2} # и углы 45 °, 45 °, 90 °), а также # arctan (0) = 0 #

таким образом #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

или же # ок 0,263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Поэтому решение # lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # или же # ок 1.302054638 … #