Каково уравнение параболы с фокусом в (5,3) и направляющей у = -12?

Ответ:

# У = х ^ 2/30-х / 3-11 / 3 #

Объяснение:

Определение параболы гласит, что все точки на параболе всегда имеют одинаковое расстояние до фокуса и направляющей.

Мы можем позволить # Р = (х, у) #, который будет представлять общую точку на параболе, мы можем позволить # Р = (5,3) # представлять фокус и # D = (х, -12) # представлять ближайшую точку на директрисе, #Икс# потому что самая близкая точка на директрисе всегда прямая вниз.

Теперь мы можем установить уравнение с этими точками. Мы будем использовать формулу расстояния для расчета расстояний:

# Д = SQRT ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) 2 ^) #

Мы можем применить это к нашим точкам, чтобы сначала получить расстояние между #П# а также # F #:

#d_ (ПФ) = SQRT ((х-5) ^ 2 + (Y-3) ^ 2) #

Тогда мы определим расстояние между #П# а также # D #:

#d_ (ПД) = SQRT ((х-х) ^ 2 + (у - (- 12)) ^ 2) #

Поскольку эти расстояния должны быть равны друг другу, мы можем поместить их в уравнение:

#sqrt ((х-5) ^ 2 + (Y-3) ^ 2) = SQRT ((у + 12) 2 ^) #

С момента #П# в общем виде и может представлять любую точку на параболе, если мы можем просто решить для # У # в уравнении нам останется уравнение, которое даст нам все точки на параболе, или, другими словами, это будет уравнение параболы.

Сначала мы возведем в квадрат обе стороны:

# (SQRT ((х-5) ^ 2 + (Y-3) ^ 2)) ^ 2 = (SQRT ((у + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (Х-5) ^ 2 + (Y-3) ^ 2 = (у + 12) ^ 2 #

Затем мы можем расширить:

# Х ^ 2-10x + 25 + у ^ 2-6y + 9 = у ^ 2 + 24Y + 144 #

Если мы разместим все слева и соберем похожие термины, мы получим:

# Х ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30Y = х ^ 2-10x-110 #

# У = х ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# У = х ^ 2/30-х / 3-11 / 3 #

которое является уравнением нашей параболы.