Каковы асимптота (и) и дыра (и), если таковые имеются, f (x) = (2-e ^ (x)) / (3x-2xe ^ (x / 2))?

Ответ:

Вертикальные асимптоты: х = 0, #ln (9/4) #

Горизонтальные асимптоты: у = 0

Косые асимптоты: нет

Отверстия: нет

Объяснение:

# Е ^ х # части могут сбивать с толку, но не волнуйтесь, просто применяйте те же правила.

Я начну с простой части: вертикальные асимптоты

Чтобы решить для них, вы установите знаменатель равным нулю, так как число больше нуля не определено. Так:

# 3x-2xe ^ (х / 2) = 0 #

Затем мы вычленяем X

#x (3-2e ^ (х / 2)) = 0 #

Итак, одна из вертикальных асимптот равна x = 0. Так что, если мы решим следующее уравнение.

# (3-2e ^ (х / 2)) = 0 # Затем используйте алгебру, выделите показатель степени: # -2e ^ (х / 2) = - 3 #

Затем разделите на -2: # e ^ (x / 2) = 3/2 #

Наконец, мы берем натуральный логарифм обеих сторон как средство исключения показателя степени: #ln (е ^ (х / 2)) = п (3/2) #

Итак, слева мы остались с # x / 2 = ln (3/2) #

Так что этот последний ноль #x = 2 лн (3/2) # и из-за свойства журнала экспоненты, которая заявляет # ln (x ^ n) = n * ln (x) #, это эквивалентно #x = ln (9/4) #

Итак, теперь, когда мы это установили, все остальное легко. Поскольку числитель не делится на знаменатель, не может быть косой асимптоты. Также знаменатель имеет большую степень, чем числитель. И когда вы пытаетесь разложить знаменатель, как показано выше, ни один из факторов не соответствует числителю

Наконец, чтобы закрыть, мы имеем горизонтальную асимптоту y = 0, потому что # Е ^ х # функция никогда не равна нулю.

Ключевые моменты:

1. # e ^ x ne 0 #