Два угла равнобедренного треугольника находятся в (1, 3) и (9, 4). Если площадь треугольника равна 64, каковы длины сторон треугольника?

Ответ:

Длина сторон треугольника:

# sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Объяснение:

Расстояние между двумя точками # (x_1, y_1) # а также # (x_2, y_2) # определяется формулой расстояния:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Так что расстояние между # (x_1, y_1) = (1, 3) # а также # (x_2, y_2) = (9, 4) # является:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

что иррациональное число немного больше, чем #8#.

Если бы одна из сторон треугольника была одинаковой длины, то максимально возможная площадь треугольника была бы:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Так что это не может быть так. Вместо этого две другие стороны должны быть одинаковой длины.

Учитывая треугольник со сторонами # a = sqrt (65), b = t, c = t #мы можем использовать формулу Герона, чтобы найти его площадь.

Формула Цапля говорит нам, что площадь треугольника со сторонами #a, b, c # и полупериметр #s = 1/2 (a + b + c) # дан кем-то:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

В нашем случае полупериметр это:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

и формула Герона говорит нам, что:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

# color (white) (64) = 1/2 кв. (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Умножьте оба конца на #2# получить:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Квадрат с обеих сторон, чтобы получить:

# 16384 = 65/4 (т ^ 2-65 / 4) #

Умножьте обе стороны на #4/65# получить:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Транспонировать и добавить #65/4# в обе стороны, чтобы получить:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Возьмите положительный квадратный корень с обеих сторон, чтобы получить:

#t = sqrt (266369/260) #

Таким образом, длина сторон треугольника:

# sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Альтернативный метод

Вместо использования формулы Герона, мы можем рассуждать следующим образом:

Учитывая, что основание равнобедренного треугольника имеет длину:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Площадь # 64 = 1/2 "base" xx "height" #

Итак, высота треугольника:

# 64 / (1/2 кв. (65)) = 128 / кв. (65) = (128 кв. (65)) / 65 #

Это длина перпендикулярного биссектрисы треугольника, который проходит через середину основания.

Таким образом, две другие стороны образуют гипотенузы двух прямоугольных треугольников с ногами #sqrt (65) / 2 # а также # (128sqrt (65)) / 65 #

Итак, по Пифагору, каждая из этих сторон имеет длину:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #