Что такое квадратный корень из 90?

Ответ:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Объяснение:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # иррациональное число где-то между #sqrt (81) = 9 # а также #sqrt (100) = 10 #.

На самом деле, так как #90 = 9 * 10# имеет форму #n (п + 1) # имеет регулярное непрерывное дробное расширение формы # П; бар (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; бар (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+))…)))))) #

Один интересный способ найти рациональные аппроксимации - использовать целочисленную последовательность, определяемую линейным повторением.

Рассмотрим квадратное уравнение с нулями # 19 + 2sqrt (90) # а также # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2 кв. (90)) (x-19 + 2 кв. (90)) #

#color (white) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

# color (white) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

# color (white) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Так:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Используйте это, чтобы получить последовательность:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

Первые несколько терминов этой последовательности:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Соотношение между последовательными сроками будет стремиться к # 19 + 2sqrt (90) #

Следовательно:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #