Каково уравнение касательной линии f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) при x = -2?

Ответ:

найти #f (-2) # а также #f '(- 2) # затем используйте формулу касательной линии.

Уравнение касательной имеет вид:

# У = 167.56x + 223,21 #

Объяснение:

#f (х) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

Найдите производную функцию:

#f '(х) = (14x ^ 3)' - (4x ^ 2e ^ (3x)) #

#f '(х) = 14 (х ^ 3)' - 4 (х ^ 2) 'е ^ (3x) + 4x ^ 2 (е ^ (3x))' #

#f '(х) = 14 * 3x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * е ^ (3x) * (3x)' #

#f '(х) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * е ^ (3x) * 3 #

#f '(х) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 12x ^ 2 * е ^ (3x) #

#f '(х) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

обнаружение #f (-2) #

#f (х) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

#f (-2) = 14 * (- 2) ^ 3-4 * (- 2) ^ 2e ^ (3 * (- 2)) #

#f (-2) = 32е ^ (- 6) -112 #

#f (-2) = 111.92 #

а также #f '(- 2) #

#f '(х) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

#f '(- 2) = 42 * (- 2) ^ 2-8 * (- 2) е ^ (3 * (- 2)) 1 + 6 * (- 2) #

#f '(- 2) = 168-176e ^ (- 6) #

#f '(- 2) = 167,56 #

Теперь производное определение:

#f '(х) = (у-ф (x_0)) / (х-x_0) #

Если # X_0 = -2 #

#f '(- 2) = (у-ф (-2)) / (х - (- 2)) #

# 167,56 = (у-111.92) / (х + 2) #

# 167,56 (х + 2) = Y-111.92 #

# У = 167.56x + 167,56 * 2 + 111,92 #

# У = 167.56x + 223,21 #

график {14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) -227, 254, -214,3, 26,3}

Как вы можете видеть выше, график увеличивается с большой скоростью для #x <0 # поэтому большой уклон на самом деле оправдан.

Примечание: если вам не разрешено пользоваться калькулятором, вам просто нужно #e ^ (- 6) # все это время. Имейте в виду правила для полномочий:

#e ^ (- 6) = 1 / е ^ 6 #

#e ^ (- 6) * е ^ (- 6) = (е ^ (- 6)) ^ 2 = е ^ (- 6 * 2) = е ^ (- 12) #