Что такое квадратный корень из 89?

Ответ:

Квадратный корень #89# это число, которое при квадрате дает #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Объяснение:

поскольку #89# прост, #sqrt (89) # не может быть упрощено.

Вы можете приблизить его, используя метод Ньютона-Рафсона.

Мне нравится переформулировать это немного следующим образом:

Позволять #n = 89 # быть число, которое вы хотите квадратный корень из.

выберите # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # чтобы # P_0 / Q_0 # разумное рациональное приближение. Я выбрал эти конкретные значения, так как #89# примерно на полпути между #9^2 = 81# а также #10^2 = 100#.

Повторите, используя формулы:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Это даст лучшее рациональное приближение.

Так:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Так что, если бы мы остановились здесь, мы получили бы приближение:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Давайте сделаем еще один шаг:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Итак, мы получаем приближение:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Этот метод Ньютона-Рафсона быстро сходится.

#белый цвет)()#

На самом деле, довольно хорошее простое приближение для #sqrt (89) # является #500/53#, поскольку #500^2 = 250000# а также #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Если мы применим один шаг итерации к этому, мы получим лучшее приближение:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#белый цвет)()#

сноска

Все квадратные корни натуральных чисел имеют повторяющиеся разложения в дробные дроби, которые вы также можете использовать для рациональных приближений.

Тем не менее, в случае #sqrt (89) # продолжение дробной части немного грязно, поэтому не очень приятно работать с:

#sqrt (89) = 9; бар (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 /)) + …))))))) #

Приближение #500/53# выше #9; 2, 3, 3, 2#