Количество способов, которыми экзаменатор может присвоить 30 баллов 8 вопросам, задав не менее 2 баллов за каждый вопрос, равно?

Ответ:

#259459200#

Объяснение:

Если я правильно читаю это, то если экзаменатор может выставлять оценки только кратными 2. Это будет означать, что из 30 оценок только 15 вариантов выбора, т.е. #30/2 = 15#

Тогда у нас есть 15 вариантов, распределенных по 8 вопросам.

Используя формулу для перестановок:

# (n!) / ((n - r)!) #

куда # П # количество объектов (в данном случае отметки в группах по 2).

А также #р# сколько берется за один раз (в данном случае 8 вопросов)

Итак, мы имеем:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Ответ:

Есть # "" _ 21C_14 # (или 116 280) способов.

Объяснение:

Мы начинаем с 30 оценок в «банке», чтобы дать. Поскольку все вопросы должны быть оценены как минимум в 2 балла, мы берем # 2 xx 8 = 16 # отметки от #30# и распределить их поровну. Теперь у каждого вопроса есть 2 (пока), и "банк" остается с #30-16=14# Метки.

Теперь нам просто нужно найти количество способов поделить оставшиеся 14 баллов среди 8 вопросов. Сначала это может показаться очень сложным, но есть хитрость, которая делает его намного более интуитивным.

Давайте упростим вещи на мгновение. Что если бы у нас было только 2 вопроса и 14 оценок, которые можно разделить между ними? Сколько способов мы можем сделать это? Ну, мы могли бы разделить отметки как 14 + 0, или 13 + 1, или 12 + 2, и т. Д. … или 1 + 13, или 0 + 14. Другими словами, когда нам нужно ввести только 1 разделение (между 2 вопросами), мы получаем 15 способов сделать это.

Это то же самое, что спросить: «Сколько уникальных способов мы можем расположить 14 желтых шариков (метки) и 1 синий мрамор (разделитель вопросов) подряд?» Ответ на это можно найти, рассчитав количество перестановок всех 15 мраморов (что #15!#), то делим на количество способов переставить оба желтых шарика #(14!)# и синий мрамор #(1!)#Поскольку внутри каждой композиции не имеет значения, в каком порядке появляются одинаковые шарики.

Таким образом, когда есть 14 желтых шариков (знаки) и 1 синий мрамор (разделитель вопроса), есть

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Отмена (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 способов расставить шарики (разбить отметки). Примечание: это равно # "" _ 15C_14 #.

Давайте представим еще один синий мрамор, то есть второй сплит или третий вопрос для оценки. Сейчас у нас всего 16 шариков, и мы хотим знать, сколько уникальных способов их устроить. Как и прежде, мы берем #16!# способы упорядочить весь мрамор, а затем разделить по способам переставить оба желтых #(14!)# и синие #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Отмена (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Таким образом, есть 120 способов разделить 14 оценок между 3 вопросами. Это также равно # "" _ 16C_14 #.

К настоящему времени вы можете заметить, куда мы направляемся. Число слева от # C # равно количеству меток, которые мы разбиваем (желтые шарики) плюс количество сплиттеров (синий мрамор). Количество сплиттеров всегда один меньше чем количество вопросов. Число справа от # C # остается количество марок.

Таким образом, чтобы разделить оставшиеся 14 баллов среди всех 8 вопросов (что требует 7 сплиттеров), мы рассчитываем

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (белый) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (белый) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116280" #

Таким образом, существует 116 280 способов присвоения 30 оценок 8 вопросам, где каждый вопрос оценивается как минимум в 2 оценки.