Функция f (x) = sin (3x) + cos (3x) является результатом серии преобразований, первое из которых представляет собой горизонтальный перевод функции sin (x). Что из этого описывает первое преобразование?

Ответ:

Мы можем получить график # У = F (X) # от # Ysinx # применяя следующие преобразования:

• горизонтальный перевод # Пи / 12 # радианы влево

• вдоль # Ox # с масштабным коэффициентом #1/3# единицы

• вдоль # Oy # с масштабным коэффициентом #sqrt (2) # единицы

Объяснение:

Рассмотрим функцию:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Предположим, мы можем записать эту линейную комбинацию синуса и косинуса как синусоидальную сдвинутую по фазе функцию, то есть предположим, что мы имеем:

# f (x) - = Asin (3x + alpha) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

В каком случае путем сравнения коэффициентов # Sin3x # а также # Cos3x # у нас есть:

# Acos alpha = 1 # а также # Asinalpha = 1 #

Путем возведения в квадрат и сложения имеем:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Делив, мы имеем:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

Таким образом, мы можем написать, #f (х) # в виде:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Таким образом, мы можем получить график # У = F (X) # от # Ysinx # применяя следующие преобразования:

• горизонтальный перевод # Пи / 12 # радианы влево
• вдоль # Ox # с масштабным коэффициентом #1/3# единицы
• вдоль # Oy # с масштабным коэффициентом #sqrt (2) # единицы

Что мы можем увидеть графически:

График # У = SiN х #:

graph {sinx -10, 10, -2, 2}

График # У = Sin (х + пи / 12) #:

graph {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

График # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

graph {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

График # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

graph {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

И, наконец, график исходной функции для сравнения:

graph {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}