Как вы находите int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx, используя частичные дроби?

Ответ:

Вы пытаетесь разбить рациональную функцию на сумму, которую будет действительно легко интегрировать.

Объяснение:

Прежде всего: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Частичное разложение фракций позволяет сделать это:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # с # a, b в RR # что ты должен найти.

Чтобы их найти, нужно умножить обе стороны на один из полиномов слева от равенства. Я показываю вам один пример, другой коэффициент должен быть найден таким же образом.

Мы найдем # A #: мы должны умножить все на #Икс# чтобы другой коэффициент исчез.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) тогда и только тогда, когда 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0, если -1 = a #

Вы делаете то же самое, чтобы найти # Б # (Вы умножаете все на # (Х-1) # тогда вы выбираете #x = 1 #), и вы узнаете, что #b = 1 #.

Так # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #что подразумевает, что #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

Как интегрировать int 1 / (x ^ 2 (2x-1)), используя частичные дроби?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Нам нужно найти A, B, C такие, что 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) для всех x. Умножим обе стороны на x ^ 2 (2x-1), чтобы получить 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Выравнивающие коэффициенты дают нам {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} И, таким образом, мы имеем A = -2, В = -1, С = 4. Подставляя это в исходное уравнение, мы получим 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Теперь, интегрируем его по термину int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx, чтобы получить 2ln | 2x-1 | -2ln | x | +

Как вы находите int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx, используя частичные дроби?

Ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C Let 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) be = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) ) Расширяя правую часть, получим (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x), приравнивая, получим (A * (1 - 2x ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)), т. Е. A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 или A - 2Ax + B + Bx = 3 или (A + B) + x * (- 2A + B) = 3, приравнивая коэффициент x к 0 и приравнивая константы, получаем A + B = 3 и -2A + B = 0 Решая для A & B, получаем A = 1 и B = 2 Подставляя в интегрирование, получаем int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 + x)

Как интегрировать int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)), используя частичные дроби?

Вам нужно разложить (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) как частичную дробь. Вы ищете a, b, c в RR, такие что (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + с / (х + 4). Я покажу вам, как найти только, потому что b и c должны быть найдены точно так же. Вы умножаете обе стороны на x + 3, это заставит его исчезнуть из знаменателя левой стороны и появится рядом с b и c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) тогда и только тогда (x) -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Вы оцениваете это в x-3, чтобы b и c исчезли и нашли a. х = -3, если 12/9 = 4/3