Что такое квадратный корень из 543?

Ответ:

#sqrt (543) ~~ 23.30236 #

Объяснение:

Первичная факторизация #543# является:

#543 = 3 * 181#

Поскольку он не имеет квадратных факторов больше #1#квадратный корень #543# не может быть упрощено.

Это иррациональное число между # 23 = sqrt (529) # а также # 24 = sqrt 576 #.

Линейно интерполируя, мы можем приблизить:

#sqrt (543) ~~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~~ 23,3 #

Для большей точности, позвольте # p_0 / q_0 = 233/10 # и повторить, используя формулы:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):} #

Так:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660):} #

Только этой итерации достаточно, чтобы получить #7# (около #8#) значимые цифры:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~~ 23.30236 #

Если мы хотим большей точности, просто повторите итерацию.

сноска

Точная повторяющаяся непрерывная дробь для #sqrt (543) # является:

# 543 = 23; бар (3,3,3,1,14,1,3,3,3,46) #

из которого можно найти решение уравнения Пелла:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

что делает #sqrt (543) ~~ 669337/28724 # очень эффективное приближение.