Сумма ряда 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... до бесконечности равна?

Ответ:

Сумма # = 2ln2-1 #

Объяснение:

Общий термин серии # = (- 1) ^ (п + 1) / (п (п + 1)) #

Выполняем разложение на частичные дроби

# 1 / (п (п + 1)) = А / п + В / (п + 1) #

# = (А (п + 1) Bn) / (п (п + 1)) #

Так, # 1 = А (п + 1) Bn #

когда # П = 0 #, #=>#, # 1 = А #

когда # П = -1 #, #=>#, # 1 = -B #

Следовательно, # 1 / (п (п + 1)) = 1 / п-1 / (п + 1) #

# (- 1) ^ (п + 1) / (п (п + 1)) = (- 1) ^ (п + 1) / п - (- 1) ^ (п + 1) / (п + 1) #

# sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (п + 1) #

# ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n #

# sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 #

# Sum_0 ^ (оо) (- 1) ^ (п + 1) / (п + 1) = sum_0 ^ 1 (-1) ^ (п + 1) / (п + 1) -sum_1 ^ оо (-1) ^ (п) х ^ (п + 1) / (п + 1) #

# Sum_0 ^ оо (-1) ^ (п) х ^ (п + 1) / (п + 1) = 1-п (1 + х) #

# sum_0 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) = 1-ln2 #

# Sum_1 ^ оо (-1) ^ (п + 1) / (п (п + 1)) = ln2- (1-LN2) = 2ln2-1 #